I.　偶数、奇数

nを自然数（正の整数）とするとき
(1)偶数（２の倍数）→2nとおける。
(2)2nの「形」で書ける数→偶数といえる。

(3)奇数（２で割り切れない数）→2n−1とおける。
(4)2n−1の「形」で書ける数→奇数といえる。

【例】
「２つの自然数がともに奇数であるとき、それらの和は偶数になる」ことの説明の仕方

　(3)の字面にこだわって2n−1, 2n−1とおいてはいけない。このようにおくと、２つの奇数が同じという仮定を勝手に持ち込んでしまうことになる。したがって、元の内容を表すには別の文字m, nを使って表さなければならない。このように表しておくと、これらの奇数が「たまたま」等しい場合もm=nとすれば表せる。
　もちろん、2a−1, 2b−1（a, bは自然数）とおいてもよいが、異なる文字であることが重要

　m+n−1は１つの自然数になるからこれをNで表すと、和は2Nになる。
(2)においては、2n（nは自然数）の形で書ける数は偶数と見なせるという所が重要で、和が2Nの形に書けることから偶数といえる。
　慣れてくれば、2(m+n−1)は２×（整数）の形をしていると言ってもよい。

II.　２けたの整数、３けたの整数、···

　２けたの整数の十の位の数をa、一の位の数をbとおくとき、この整数は10a+bと表される。
　3けたの整数の百の位の数をa、十の位の数をb、一の位の数をcとおくとき、この整数は100a+10b+cと表される。

【例】
「２けたの自然数で、18, 27, 36のように各位の数を足せば9になる数は9で割り切れる」ことの説明の仕方

（目標）9で割り切れることを示すには9n（nは自然数）の形に書けることを言えばよい。

(2)の変形を思いつかないという人へ
　仮定の(1)を使わなければ問題は解けない。何とかして(1)を使うにはどうしたらよいかを考えると、普通は(1)を使って「代入（→１文字消去）」を行う。
a+b=9だからb=9−a
これにより、10a+b=10a+(9−a)=9a+9=9(a+1)
　慣れてきたら(2)のような短縮答案がスマートに決まる。

III.　連続する整数

　連続する２つの整数はn, n+1などで表される。
　連続する３つの整数はn, n+1, n+2などで表される。

【例】
2+4+6=12, 4+6+8=18のように連続する３つの偶数の和は6で割り切れる」ことの説明の仕方

最後の部分をていねいに書くと：
n+1=Nとおくと、この和は6N（Nは自然数）の形に書けることになるから、６で割り切れる。･･･もっと正確に言えばn+1=N≧2になるが、「和が12以上になることを示せ」とは書かれていないから、そこまで言わなくてもよい）

(1)　ある月のカレンダーで、次の赤字で示したようにある日付から縦横２つずつ連続して合計４個の日付を選んだとき、これらの日付の数の和は４で割り切れることを示しなさい。

日	月	火	水	木	金	土
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30

　（ある日付の左上に数字があるとき，つまりある日が日曜日でもなく第１週でもないとき）
左上の数字をnとおくと、
その右隣の数字は?、
下隣の数字は?、
右下の数字は?
とおける。
　これらの４個の数の和は、
?=4(?)
と書けるから、４で割り切れる。
HELP

【選択肢】
n−7 n−6 n−5 n−4 n−3 n−2

n−1 n n+1 n+2 n+3 n+4

n+5 n+6 n+7 n+8 2n−7 2n−6

2n−5 2n−4 2n−3 2n−2 2n−1

2n 2n+1 2n+2 2n+3 2n+4

2n+5 2n+6 2n+7 2n+8

4n−14 4n−12 4n−10 4n−8 4n−6

4n−4 4n−2 4n 4n+2 4n+4

4n+6 4n+8 4n+10 4n+12 4n+14

4n+16

(2)　３けたの自然数が861のように各位の数が小さくなる順に並んでいるときに、元の数とその百の位の数と一の位の数を入れ替えたもの（168など）のとの差は99で割り切れることを示しなさい。

【選択肢】
a+b a+c b+a b+c c+a c+b

a−b a−c b−a b−c c−a c−b

abc acb bac bca cab cba

100a+10b+c 100a+10c+b 100b+10a+c

100b+10c+a 100c+10a+b 100c+10b+a

99a+99b 99a+99c 99b+99a 99b+99c

99c+99a 99c+99b 99a−99b 99a−99c

99b−99a 99b−99c 99c−99a 99c−99b

101a+101b 101a+101c 101b+101a

101b+101c 101c+101a 101c+101b

101a−101b 101a−101c 101b−101a

101b−101c 101c−101a 101c−101b

(3)　3+5+7=15=3×5; 9+11+13=33=3×11のように連続する３つの奇数の和を計算すると、奇数の３倍になっていることを示しなさい。

【選択肢】
n n+1 n+2 n+3 n+4 n+5

n−1 n−2 n−3 n−4 n−5 n−6

2n 2n+1 2n+2 2n+3 2n+4 2n+5

6n 6n+1 6n+2 6n+3 6n+4 6n+5

(4)　（かなりむずかしい!!）
7以上の自然数Nは2×（自然数）+3×（自然数）の形に書けることを示しなさい。

【選択肢】
0 1 2 3 4 5
n−1 n−2 n−3 n−4 n−5 n−6
n n+1 n+2 n+3 n+4 n+5
2n 2n−1 2n−2 2n−3 2n−4 2n−5

どんな自然数NでもN=3N+(−2N)と書けますが、その表し方では負の整数を使っていることになります。この問題では自然数m, nを使ってN=2m+3nと書けることを示してほしいということです。

≪ミニ実験で見通しを立てる≫
3を奇数個（例えば１個）足せば奇数になり、偶数個足すと偶数になる事に注意すると
7=2×2+3×1 …(i)
8=2×2+3×2 …(ii)
と書けます。（3を先に考えるところがミソ。2は残り。）
9, 11, 13 , ···は(i)に2, 4, 6, ···足せばよく、10, 12, 14, ···は(ii)に2, 4, 6, ···足せばできます。
以上の見通しを式にまとめるとできます。