♪♥♫♦∀高校入試の基本〜標準∳♣♬∅♠
円錐の展開図
【問題1】
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このとき,次の問いに答えなさい。 ただし,円周率はπとする。 (1) この円すいの体積を求めなさい。 (3) 右の図2のように,底面の円周上の点Pから円すいの側面を1周して,点Pまでひもをかける。ひもの長さが最も短くなるときのひもの長さを求めなさい。 (2016年度 富山県公立高校入試問題)
(解答)
♪♩〜最短経路(測地線とも呼ばれる)の長さは,展開図で考えるのが基本〜♫♬
(1)高さはだから,その体積は (cm3)・・・(答) (2) 側面の扇形の中心角をθ°とおくと,底面の円周の長さと側面の扇形の個の長さが一致するから θ=120(°) 表面積は (cm2)・・・(答) (3) 右の展開図において,線分PP’の長さを求めるとよいから (cm)・・・(答) |
【問題2】
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(1) この円錐の側面の展開図はおうぎ形になる。その展開図として正しいものを,次のア〜エから1つ選び,記号を書きなさい。 (2017年度 長野県公立高校入試問題)
(解答)
♪♩〜最短経路(測地線とも呼ばれる)の長さは,展開図で考えるのが基本〜♫♬
はじめに,側面の展開図の扇形の中心角θ(°)を求める底面の円周の長さ2π×2と側面の展開図の扇形の弧の長さが等しいから (°) AP=4, PC=2, ∠APC=90°だから,直角三角形APCについて,三平方の定理を用いると (cm)・・・(答) |
【問題3】
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(2018年度 埼玉県公立高校入試問題)
(解答)
はじめに,側面の展開図の扇形の中心角θ(°)を求める 底面の円周の長さ2π×4と側面の展開図の扇形の弧の長さが等しいから (°) 高校では,右図AMの長さを求める公式があるが,中学では「直角三角形を組み合わせて,三平方の定理で求める」しかない. AO=12, OM=6, ∠MOH=60°から,OH=3, HM= 直角三角形AMHについて,三平方の定理を用いると (cm)・・・(答) |
【問題4】
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このとき,次の(1)〜(3)の問いに答えなさい。 ただし,円周率はπとする。 (1) この円すいの体積を求めなさい。 (2) この円すいの表面積を求めなさい。 ただし,ひもの太さや伸び縮みは考えないものとする。 (2022年度 茨城県公立高校入試問題)
(解答)
(1) 底面積が,高さがの円錐だから,その体積は (cm3)・・・(答) (2) 側面の扇形の中心角をθ°とおくと,底面の円周の長さと側面の扇形の個の長さが一致するから θ=120(°) 表面積は (cm2)・・・(答) (3) BPとPQに分けて考える PからOBに引いた垂線の足をRとすると, OR=1, OP=2, RB=5, PR=だから BP= PQ= したがって,ひもの長さは,(cm)・・・(答) |
角錐,角柱の展開図
【問題5】
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このとき,次の(1),(2)の問いに答えなさい。 (1) AP+PGの長さを最も短くしたとき,AP+PGの長さを求めなさい。 (2) 3点A, Q, Rを通る平面でこの立方体を切ったとき,切り口の図形の面積を求めなさい。 (2019年度 茨城県公立高校入試問題)
(解答)
(1) ABEF, BCFGの面の展開図は右のようになる.このとき,AGが直線になるときAP+PGが最短になる (cm)・・・(答) (2) 右図のようにAQの延長とCRの延長とが交わる点をSとすると,点A, Q, S, R, Cは,△ASC上にある. したがって,求める切り口は台形AQRCになる. (上底) (下底) (等脚)台形の高さは, 面積は (cm2)・・・(答) |
【問題6】
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このとき,次の問いに答えなさい。 (ア)(イ) 略 (ウ) この三角柱の表面上に,図2のように点Bから辺EF,辺DFと交わるように,点Cまで線を引く。このような線のうち,長さが最も短くなるように引いた線の長さを求めなさい。 (2019年度 神奈川県公立高校入試問題)
(解答)
(ウ) 右の展開図において,BC’の距離を求めるとよい. △DEFは,DE=3, EF=4, FD=5の直角三角形 △DBJは,△DEFと合同だから,DJ=3, JB=4, BD=5 したがって,AK=3, KC’=2 △BKC’に対して,三平方の定理を適用すると (cm)・・・(答) (別解) △C’FIは,△FDEと相似だから △BHC’に対して,三平方の定理を適用すると (cm)・・・(答) |
【問題7】
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このとき,次の各問いに答えなさい。 (1) 略 (2) 底面の正方形ABCDの1辺の長さが6cm, OA=OB=OC =OD=6cmのとき,次の@,Aに答えなさい。 @ 線分OHの長さを求めなさい。 A 右の図2のように,正四角錘OABCDを3点O, B, Dを通る平面で切って,三角錐OBCDの辺OB上にOP=2cmとなる点P,辺OD上にOQ=4cmとなる点Qをとります。辺OC上に点Rをとり,PR+RQの長さが最も短くなるとき,三角錘OPRQの体積を途中の説明も書いて求めなさい。 (2019年度 埼玉県公立高校入試問題)
(復習)
右図のように三角錐OABCがあるとき,辺OA, OB, OCの辺上に点P, Q, Rをとると,三角錐OPQRと三角錐OABCの体積について
(三角錐OPQR)=(三角錐OABC)× が成り立つから,ORの長さを求めると,三角錐OPQRの体積が求まる. ※証明は,このぺージの問題8の後
• OP=p, OQ=q, OR=rとおくとき,右図1のように∠POR=∠ROQ=60°のとき,
**以下q>pのときの図を使って説明する**※∠POR=∠ROQのとき,いつでもこの簡単な公式が成り立つわけではなく,45°,30°のときは,もう少し複雑になる. • ∠POR=∠ROQ=45°のとき, • ∠POR=∠ROQ=30°のとき, ※この公式を,覚える必要はない.「ORを含む相似図形を作る」ことがポイント. (図1の場合の証明) 右図のように,点Sをとると,△RSQ∽△ROPとなるから (図2の場合の証明) 右図のように,点Sをとると,△RSQ∽△ROPとなるから (図3の場合の証明) 同様にして,となることから証明できる (問題の解答) (2)@ 断面図は右図のようになるから,三平方の定理を用いて,OHの長さを求めることができる (cm)・・・(答) A 上記の図1の場合において,p=2, q=4であるから 次に (三角錐OPQR) =(三角錐OABC)× =(三角錐OABC)× =(三角錐OABC)× また (三角錐OABC)= 結局,求める体積は (cm3)・・・(答) |
【問題8】
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辺BE上に,線分APと線分PFの長さの和AP+PFがもっとも短くなるように点Pをとる。 次の(1)〜(3)の問いに答えなさい。 (1) 辺ACの長さを求めなさい。 (2) 線分APの長さを求めなさい。 次の@,Aの問いに答えなさい。 @ △AFPの面積を求めなさい。 A 三角錐ADPCにおいて,△AFPを底面としたときの高さをa cmとする。また,三角錐ADPFにおいて,△AFPを底面としたときの高さをb cmとする。 の値を求めなさい。 (2022年度 大分県公立高校入試問題)
(1)
△ABCは,∠BAC=90°の直角三角形だから,三平方の定理により (cm) (2) AP+PFがもっとも短くなるのは,右図の展開図においてAP, PFが直線になるときだから (cm) (3) @ (1),(2)の結果から (2)と同様にして, △AFPは,の二等辺三角形だから,底辺APからの高さは その面積は (cm2) A
【三角錐の体積を2通りの求め方で書く】
• 三角錐ADPCを,△ADCを底面と見なし,ABを高さと見ると,体積は(底面積)×(高さ)÷3 で求められるので,右図のような三角錐の場合は, が成り立つ. これを利用すれば,高さh2が未知数のとき によって求められる. 一方,△APCを底面と見なして,高さをaとおくと • 三角錐ADPFを,△ADFを底面と見なし,ABを高さと見ると,体積は 一方,△AFPを底面と見なして,高さをbとおくと@の結果から 以上により |
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