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== センター試験.2次方程式.2次関数(2013〜) ==
【2013年度センター試験.数学T・数学A】第2問
 座標平面上にある点Pは,点A(−8, 8)から出発して,直線y=−x上をx座標が1秒あたり2増加するように一定の速さで動く。また,同じ座標平面上にある点Qは,点PAを出発すると同時に原点Oから出発して,直線y=10x上をx座標が1秒あたり1増加するように一定の速さで動く。出発してからt秒後の2点P, Qを考える。点POに達するのはt=のときである。以下,0<t<で考える。
(1) 点Px座標が等しいx軸上の点をP', 点Qx座標が等しいx軸上の点をQ'とおく。△OPP'△OQQ'
の面積の和Stで表せば
S=t2ウエt+オカ
となる。これより0<t<においては,t=

で,Sは最小値
ケコサ
をとる。

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 次に,a0<a<−1を満たす定数とする。以下,a≦t≦a+1におけるSの最小・最大について考える。
(i) St=
で最小となるようなaの値の範囲は

≦a≦
である。

(ii) St=aで最大となるようなaの値の範囲は
0<a≦
ツテ
である。

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(2) 3点O, P,Qを通る2次関数のグラフが関数y=2x2
のグラフを平行移動したものになるのは,t=

のときであり,x軸方向に
ニヌ
y軸方向に

ノハヒ
だけ平行移動すればよい。

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【2014年度センター試験.数学T・数学A】第2問
 aを定数とし,xの2次関数
y=x2+2ax+3a2−6a−36・・・@
のグラフをGとする。Gの頂点の座標は
(a, a2a−エオ)
である。Gy軸との交点の座標をpとする。
(1) p=−27のとき,aの値はa=キクである。a=のときの@のグラフをx軸方向にy軸方向にだけ平行移動すると,a=キクのときの@のグラフに一致する。
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(2) 下のには,次の⓪〜Bのうちから当てはまるものを一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。
>  @ <  A   B
 Gx軸と共有点を持つようなaの値の範囲を表す不等式は
サシ a ・・・A
である。aがAの範囲にあるとき,pは,a=で最小値チツテをとり,a=で最大値ナニをとる。
 Gx軸と共有点を持ち,さらにそのすべての共有点のx座標が−1より大きくなるようなaの値の範囲を表す不等式は
ヌネ a
ヒフ

である。
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【2015年度センター試験.数学T・数学A】第1問
 2次関数
y=−x2+2x+2・・・@
のグラフの頂点の座標は()である。また
y=f(x)
xの2次関数で,そのグラフは,@のグラフをx軸方向にpy軸方向にqだけ平行移動したものであるとする。
(1) 下のには,次の⓪〜Cのうちから当てはまるものを一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。
>  @ <  A   B   C
 2≦x≦4におけるf(x)の最大値がf(2)になるようなpの値の範囲は
p
であり,最小値がf(2)になるようなpの値の範囲は
p
である。
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(2) 2次不等式f(x)>0の解が−2<x<3になるのは
p=
キク
q=
コサ

のときである。
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【2016年度センター試験.数学T・数学A】第1問(必答問題)
〔1〕 aを実数とする。xの関数
f(x)=(1+2a)(1−x)+(2−a)x
を考える。
f(x)=(−a+)x+2a+1
である。
(1) 0≦x≦1におけるf(x)の最小値は,
a≦
のとき,a+であり

a>
のとき,a+である。

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(2) 0≦x≦1において,常にとなるaの値の範囲は,
≦a≦
である。

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【2017年度センター試験.数学T・数学A】第1問(必答問題)
〔3〕 aを定数とし,g(x)=x2−2(3a2+5a)x+18a4
+30a3+49a2+16
とおく。2次関数y=g(x)のグラフの頂点は
(a2+a, a4+チツa2+テト)
である。
 aが実数全体を動くとき,頂点のx座標の最小値は
ナニ
ヌネ
である。

 次に,t=a2とおくと,頂点のy座標は
t2+チツt+テト
と表せる。したがって,aが実数全体を動くとき,頂点のy座標の最小値はノハである。
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【2018年度センター試験.数学T・数学A】第1問(必答問題)
〔1〕 xを実数とし
A=x(x+1)(x+2)(5−x)(6−x)(7−x)
とおく。整数nに対して
(x+n)(n+5−x)=x(5−x)+n2+n
であり,したがって,X=x(5−x)とおくと
A=X(X+)(X+ウエ)
と表せる。
のとき,X=であり,A=2である。
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【2019年度センター試験.数学T・数学A】第1問(必答問題)
〔3〕 abはともに正にの実数とする。xの2次関数
y=x2+(2a−b)x+a2+1
のグラフをGとする。
(1) グラフGの頂点の座標は
b
−a
b2
+ab+

である。
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(2) グラフGが点(−1, 6)を通るとき,bのとり得る値の最大値はであり,そのときのaの値はである。
 b=a=のとき,グラフGは2次関数
y=x2のグラフをx軸方向に
y軸方向に

ネノ
だけ平行移動したものである。

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【2020年度センター試験.数学T・数学A】第1問(必答問題)
〔3〕 cを定数とする。2次関数y=x2のグラフを,2点(c, 0), (c+4, 0)を通るように平行移動して得られるグラフをGとする。
(1) Gをグラフにもつ2次関数は,cを用いて
y=x2−2(c+)x+c(c+)
と表せる。
 2点(3, 0), (3, −3)を両端とする線分とGが共有点をもつようなcの値の範囲は
≦c≦≦c≦
である。
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(2) ≦c≦の場合を考える。Gが点(3, −1)を通るとき,Gは2次関数y=x2のグラフをx軸方向に+ ,y軸方向にハヒだけ平行移動したものである。また,このときGy軸との交点のy座標は+ である。
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【2021年度共通テスト.数学T・数学A】第1問(必答問題)
〔1〕 cを正の定数とする。xの2次方程式
2x2+(4c−3)x+2c2−c−11=0・・・@
について考える。
(1) c=1のとき,@の左辺を因数分解すると
(x+)(x−)
であるから,@の解は
x=−

である。
(2) c=2のとき,@の解は
x=
±オカ 

であり,大きいほうの解をαとすると
±ケコ 

である。また,を満たす整数mである。
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(3) 太郎さんと花子さんは,@の解について考察している。
太郎:@の解はcの値によって,ともに有理数である場合もあれば,ともに無理数である場合もあるね。cがどのような値のときに,解は有理数になるのかな。
花子:@の解は2次方程式の根号の中に着目すればいいんじゃないかな。
 @の解が異なる二つの有理数であるような正の整数cの個数は個である。
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【2022年度共通テスト.数学T・数学A】第2問(必答問題)
〔1〕 p, qを実数とする。
花子さんと太郎さんは,次の二つの2次方程式について考えている。
x2+px+q=0 ・・・@
x2+qx+p=0 ・・・A
 @またはAを満たす実数xの個数をnとおく。
(1) p=4, q=−4のとき,n=である。
 また,p=1, q=−2のとき,n=である。
(2) p=−6のとき,n=3になる場合を考える。
花子:例えば,@とAをともに満たす実数xがあるときはn=3になりそうだね。
太郎:それをαとしたら,α2+qα−6=0α2−6α+q=0が成り立つよ。
花子:なるほどね。それならば,α2を消去すれば,αの値が求められそうだね。
太郎:確かにαの値が求まるけど,実際にn=3となっているかどうかの確認が必要だね。
花子:これ以外にもn=3となる場合がありそうだね。
 n=3となるqの値は
q=
である。ただし,<とする。
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(3) 花子さんと太郎さんは,グラフ表示ソフトを用いて,@Aの左辺をyとおいた2次関数y=x2+px+qy=x2+qx+pのグラフの動きを考えている。
(挿し絵省略)
 p=−6に固定したまま,qの値だけを変化させる。
y=x2−6x+q ・・・B
y=x2+qx−6 ・・・C
の二つのグラフについて,q=1のときのグラフを点線で,qの値を1から増加させたときのグラフを実線でそれぞれ表す。このとき,Bのグラフの移動の様子を示すととなり,Cのグラフの移動の様子を示すととなる。
については,最も適当なものを,次の⓪〜Fのうちから一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。なお,x軸とy軸は省略しているが,x軸は右方向,y軸は上方向がそれぞれ正の方向である。
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(4) <q<とする。全体集合Uを実数全体の集合とし,Uの部分集合A, B
A={x|x2−6x+q<0}
B={x|x2+qx−6<0}
とする。Uの部分集合Xに対し,Xの補集合をXと表す。このとき,次のことが成り立つ。
  • x∈Aは,x∈Bであるための
  • x∈Bは,x∈Aであるための
, の解答群(同じものを繰り返し選んでもよい。)
⓪ 必要条件であるが,十分条件ではない
@ 十分条件であるが,必要条件ではない
A 必要十分条件である
B 必要条件でも十分条件でもない
[解答を見る]
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