平面ベクトルと三角形（入試問題）

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== 平面ベクトルと三角形（入試問題） ==

【三角形の面積比】
　４点 $A(\vec{a}),\hspace{2}B(\vec{b}),\hspace{2}C(\vec{c}),\hspace{2}P(\vec{p})$ について
$\vec{p}=\frac{k\vec{a}+ l\vec{b}+ m\vec{c}}{k+ l+ m}\hspace{5}(k,\hspace{2}l,\hspace{2}m\gt 0)$
が成り立つとき，点Pは△ABCの内部にある．

(1)

• ABをl:kの比に内分する点をDとするとき，DCをm:(k+l)の比に内分する点がPである．
• BCをm:lの比に内分する点をEとするとき，EAをk:(m+l)の比に内分する点がPである．
• CAをk:mの比に内分する点をFとするとき，FBをl:(k+m)の比に内分する点がPである．
(2)
三角形の面積比は，△PAB:△PBC:△PCA=m:k:l

※以上の内容は，ベクトルの内積を使わずに示せる．

（解説）

(1)
$\vec{p}=\frac{(k+ l)\frac{k\vec{a}+ l\vec{b}}{l+ k}+ m\vec{c}}{m+(k+ l)}$
$\vec{d}=\frac{k\vec{a}+ l\vec{b}}{k+ l}$ ･･･①
とおくと
$\vec{p}=\frac{(k+ l)\vec{d}+ m\vec{c}}{m+(k+ l)}$ ･･･②
だから，①によりABをl:kの比に内分する点をDとすると，②によりDCをm:(k+l)の比に内分する点がPである．

同様にして
$\vec{p}=\frac{k\vec{a}+(m+ l)\frac{l\vec{b}+ m\vec{c}}{m+ l}}{(m+ l)+ k}$
$\vec{e}=\frac{l\vec{b}+ m\vec{c}}{m+ l}$ ･･･③
とおくと
$\vec{p}=\frac{ k\vec{a}+ (m+ l)\vec{e}}{(m+ l)+ k}$ ･･･④
だから，③によりBCをm:lの比に内分する点をEとすると，④によりEAをk:(m+l)の比に内分する点がPである．

同様にして
$\vec{p}=\frac{l\vec{b}+(k+ m)\frac{m\vec{c}+ k\vec{a}}{k+ m}}{(k+ m)+ l}$
$\vec{f}=\frac{m\vec{c}+ k\vec{a}}{k+ m}$ ･･･⑤
とおくと
$\vec{p}=\frac{ l\vec{b}+ (k+ m)\vec{f}}{(k+ m)+ l}$ ･･･⑥
だから，⑤によりCAをk:mの比に内分する点をFとすると，⑥によりFBをl:(k+m)の比に内分する点がPである．

(2)

△PABと△PBCの面積比について

　底辺BPは共通と見ることができる
　このとき，AFとFCは高さそのものではないが，高さの比はAF:FC=m:kに等しい．
　△PAB:△PBC=m:k

　中学校の数学で「相似図形の性質」というのを学びます．
　例えば，左図で△PSQ∽△RTQだから，高さの比PS:RTは，斜線の長さの比PQ:QRに等しい．
　同様にして，面積比△EFJ:△GFJを求めるときに，底辺FJは共通だから面積比は高さの比EH:GIに等しいが，これはEF:GFに等しい

△PBCと△PCAの面積比について

　底辺PCは共通と見ることができる
　このとき，BDとDAは高さそのものではないが，高さの比はBD:DA=k:lに等しい．
　　△PBC:△PCA=k:l

以上により，△PAB:△PBC:△PCA=m:k:l

【問題1】

　三角形ABCと点Pがあり，等式 $5\vec{AP}+ 9\vec{BP}+ 11\vec{CP}=\vec{0}$ が成り立っている．また，辺BCを11:9に内分する点をDとする．
(1) $\vec{AD}$ を $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を用いて表せ．また， $\vec{AP}$ を $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を用いて表せ．
(2) 面積比△PAB:△ABCを求めよ．
(3) 面積比△PBC:△PCA:△PABを求めよ．

（2016年度北海学園大工学部）

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（解答）
(1)
　辺BCを11:9に内分する点がDだから
　 $\vec{AD}=\frac{9\vec{AB}+ 11\vec{AC}}{20}$ ･･･（答）
　 $5\vec{AP}+ 9(\vec{AP}-\vec{AB})+ 11(\vec{AP}-\vec{AC})=\vec{0}$
より
$25\vec{AP}=9\vec{AB}+ 11\vec{AC}$
$\vec{AP}=\frac{9\vec{AB}+ 11\vec{AC}}{25}$ ･･･（答）
(2)

--図1--

(1)の結果からAD:AP=25:5, AP:PD=20:5
また，分母に合わせて分子の係数を調整して
$\vec{AP}=\frac{14\times\frac{9\vec{AB}}{14}+ 11\vec{AC}}{25}$
と変形すれば

「ABを9:5に内分する点をFとするとき，FCを11:14に内分する点がP」になるから，△PAB:△ABC=11:25
（底辺ABは共通で，高さはFP:FCになる）

(3)
$\vec{AP}=\frac{9\vec{AB}+ 16\times\frac{11\vec{AC}}{16}}{25}$
と変形すれば

「ACを11:5に内分する点をEとするとき，EBを9:16に内分する点がP」になる

△PBC:△PCA=5:9

底辺CPが共通と見ると，高さの比はBF:FA=5:9

△PCA:△PAB=9:11

底辺APが共通と見ると，高さの比はCD:DB=　9:11

以上から，△PBC:△PCA:△PAB=5:9:11･･･（答） →解答を隠す←

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（参考）
　原点Oからの位置ベクトルを各々 $A(\vec{a}),\hspace{2}B(\vec{b}),\hspace{2}C(\vec{c}),\hspace{2}P(\vec{p})$ とおくと，
$5\vec{AP}+ 9\vec{BP}+ 11\vec{CP}=\vec{0}$ より
$5(\vec{p}-\vec{a})+ 9(\vec{p}-\vec{b})+ 11(\vec{p}-\vec{c})=\vec{0}$
$25\vec{p}=5\vec{a}+ 9\vec{b}+ 11\vec{c}$
$\vec{p}=\frac{5\vec{a}+ 9\vec{b}+ 11\vec{c}}{25}$

• この式を
$\vec{p}=\frac{14\frac{5\vec{a}+ 9\vec{b}}{14}+ 11\vec{c}}{25}$
と変形すれば「ABを9:5に内分する点をFとするとき，FCを11:14に内分する点がP」になる

• この式を
$\vec{p}=\frac{5\vec{a}+ 20\frac{9\vec{b}+ 11\vec{c}}{20}}{25}$
と変形すれば「BCを11:9に内分する点をDとするとき，DAを5:20に内分する点がP」になる

• この式を
$\vec{p}=\frac{16\frac{5\vec{a}+ 11\vec{c}}{16}+ 9\vec{b}}{25}$
と変形すれば「ACを11:5に内分する点をEとするとき，EBを6:16に内分する点がP」になる

--図1(再掲)--

　三角形の面積比は，例えば次のように求められる．
△AFP:△BFP=9:5（やさしい）
△AFC:△BFC=9:5（やさしい）

底辺の比はAF:FB=9:5
高さは等しいと見る

△PAB:△PCA=11:9（普通）

底辺はAFで共通
高さの比はBD:DC=11:9

△PFB:△PDB=10:7（分かる比で表す）

$\triangle PAB\times \frac{5}{14}:\triangle PDB=20\times\frac{5}{14}:5=20:14=10:7$

△PBD:△PEA=4:9（分かる比で表す）

△PBC:△PCA=5:9だから
$\triangle PBD\times \frac{11}{20}:\triangle PCA\times\frac{11}{16}=5\times\frac{11}{20}:9\times\frac{11}{16}=4:9$

→解答を隠す←

【問題2】

　△ABCの内部に点Pがあって， $l\vec{AP}+ m\vec{BP}+ n\vec{CP}=\vec{0}$ を満たすとする．ただし， $l,\hspace{2}m,\hspace{2}n$ は正の数とする．
(1) $\vec{AP}$ を $\vec{AB}$ と $\vec{AC}$ を用いて表せ．
(2) △ABCの面積を1とするとき，△BCP，△CAP，△ABPそれぞれの面積を求めよ．

（2011年度群馬大医・工学部）

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（解答）
(1) $\vec{BP}=\vec{AP}-\vec{AB},\hspace{5}\vec{CP}=\vec{AP}-\vec{AC}$ だから
$l\vec{AP}+ m(\vec{AP}-\vec{AB})+ n(\vec{AP}-\vec{AC})=\vec{0}$
$(l+ m+ n)\vec{AP}=m\vec{AB}+ n\vec{AC}$
$\vec{AP}=\frac{m\vec{AB}+ n\vec{AC}}{l+ m+ n}$ ･･･（答）
(2)

$\vec{AP}=\frac{m\vec{AB}+ n\vec{AC}}{m+ n}\times\frac{m+ n}{l+ m+ n}$
と変形すると「BCをn:mに内分する点をDとするとき，CAをl:(m+n)に内分する点がP」になるから
$\triangle BCP=\triangle ABC\times\frac{l}{l+ m+ n}=\frac{l}{l+ m+ n}$
$\triangle CAP=\triangle ABC\times\frac{m}{m+ n}\times\frac{m+ n}{l+ m+ n}=\frac{m}{l+ m+ n}$
$\triangle ABP=\triangle ABC\times\frac{n}{m+ n}\times\frac{m+ n}{l+ m+ n}=\frac{n}{l+ m+ n}$
→解答を隠す←

【問題3】

　平面上に同一直線上にない３点A,B,Cが与えられているとし，△ABCの内部の点Pが
$4\vec{AP}+ 7\vec{BP}+ 2\vec{CP}=\vec{0}$
を満たしているとする．線分APを延長した直線と線分BCとの交点をQ，線分BPを延長した直線と線分ACとの交点をRとおく．

(1)

$\vec{AP}=$	ア	$\vec{AB}+$	エ	$\vec{AC}$
	イウ		オカ

である．

(2) 点Pは線分AQをキ：クに内分する点であり，点Qは線分BCをケ：コに内分する点である．
(3) △APBの面積をS,四角形CQPRの面積をTとおくと,
S:T= サ：シス　である．

（2014年度東京理科大基礎工学部）

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（解答）
(1)
$4\vec{AP}+ 7(\vec{AP}-\vec{AB})+ 2(\vec{AP}-\vec{AC})=\vec{0}$
$13\vec{AP}=7\vec{AB}+ 2\vec{AC}$
$\vec{AP}=\frac{7\vec{AB}+ 2\vec{AC}}{13}$
(2)
$\vec{AP}=\frac{9}{13}\times\frac{7\vec{AB}+ 2\vec{AC}}{9}$

と変形できるから
「BCを2：7に内分する点がQ」
「AQを9：4に内分する点がP」
(3)

分子の係数の和を分母に合わせると，内分点が分かる

$\vec{AP}=\frac{7\vec{AB}+ 6\frac{2\vec{AC}}{6}}{13}$

と変形すると
「ACを1：2に内分する点がR」
「BRを6：7に内分する点がP」
$\vec{AP}=\frac{11\frac{7\vec{AB}}{11}+ 2\vec{AC}}{13}$
と変形すると
「ABを7：4に内分する点がW」
「CWを11:2に内分する点がP」
$\triangle APB\times\frac{7}{6}\times\frac{2}{1}=\triangle RPC=T_1$
$\triangle APB\times\frac{4}{9}\times\frac{7}{2}=\triangle QCP=T_2$
$T_1+ T_2=\frac{7}{3}S+ \frac{14}{9}S=\frac{35}{9}S$
したがって，S:T=9:35･･･（答） →解答を隠す←

【問題4】
　平面内に三角形ABCがある．その平面上で，１点Oを定めておく．次の問いに答えよ．
(1)　三角形ABCの内部に点Pがあるとする．このとき，３つの三角形PBC, PCA, PABの面積の比がx:y:zであるならば，点Pの位置ベクトル $\vec{OP}$ は次のように表されることを示せ．

$\vec{OP}=$	$x\vec{OA}+ y\vec{OB}+ z\vec{OC}$
	$x+ y+ z$

(2) 三角形ABCの３辺の長さを $a=BC,\hspace{2}b=CA,$ $c=AB$ とする．このとき三角形ABCの内心Iについて，その位置ベクトル $\vec{OI}$ を， $\vec{OA},\hspace{2}\vec{OB},\hspace{2}\vec{OC}$ と $a,\hspace{2}b,\hspace{2}c$ を用いて表せ．
(3) 三角形ABCが鋭角三角形であるとき，その外心Qの位置ベクトル $\vec{OQ}$ を, $\vec{OA},\hspace{2}\vec{OB},\hspace{2}\vec{OC}$ とα=∠CAB, β=∠ABCを用いて表せ．

（2011年度お茶の水女子大理学部数学科）

［解答を見る］

　右図のような内分比であるとき，面積比△PAB:△PBC:△PCA =m:k:lになることは，このページでここまでに述べて来た．
　逆も言える．すなわち，△PAB:△PBC:△PCA=m:k:lのとき，AD:DB=l:k, DP:PC=m:(l+k)などが成り立つ．

（解答）
(1)
• △PBC:△PCAの面積比がx:yであるとき

底辺PCが共通と見ると高さ（に比例する斜辺）の比は，BD:DA=x:y

• △PCA:△PABの面積比がy:zであるとき

底辺PBが共通と見ると高さ（に比例する斜辺）の比は，CE:EB=y:zも言える

• △ABC:△PCAの面積比が(x+y+z):xであるから

底辺BCが共通と見ると高さ（に比例する斜辺）の比は，EP:EA=x:(x+y+z)
したがって，EP:PA=x:(y+z)

以上から，BCをz:yに内分する点をEとするとき，EAをx:(y+z)に内分する点がPになるから
$\vec{OP}=\frac{x\vec{OA}+ (y+ z)\frac{y\vec{OB}+ z\vec{OC}}{y+ z}}{x+ (y+ z)}$
$=\frac{x\vec{OA}+ y\vec{OB}+ z\vec{OC}}{x+ y+ z}$
→解答を隠す←

［解答を見る］

(2)

【角の二等分線の性質】
　右図のように，APが∠BACの二等分線になっているとき，
BP:PC=BA:CA が成り立つ．

　△ABCの内心をIとするとき，AI, BI, CIは各々∠A, ∠B, ∠Cの二等分線になるから，AI, BI, CIの延長が各々BC, CA, ABと交わる点をD, E, FとするとBD:DC=c:b, CE:EA=a:c, AF:FB=b:a
　△IBC:△ICA:△IAB=a:b:cになるから，(1)の結果を使うと
$\vec{OI}=\frac{a\vec{OA}+ b\vec{OB}+ c\vec{OC}}{a+ b+ c}$
(3)

　△ABCの外心をQとするとき，中学校で習うように中心角は円周角の２倍だから，∠BQC=2A, ∠CQA=2B, ∠AQB=2Cになる．
　△ABCの外接円の半径をRとするとき，
△IBC:△ICA:△IAB
$=\frac{1}{2}R^2\sin 2A:\frac{1}{2}R^2\sin 2B:\frac{1}{2}R^2\sin 2C$
$=\sin 2A:\sin 2B:\sin 2C$
(1)の結果を使うと
$\vec{OQ}=\frac{\sin 2\alpha\vec{OA}+\sin 2\beta\vec{OB}+\sin 2(\pi-\alpha-\beta)\vec{OC}}{\sin 2\alpha+\sin 2\beta+\sin 2(\pi-\alpha-\beta)}$
$=\frac{\sin 2\alpha\vec{OA}+\sin 2\beta\vec{OB}-\sin 2(\alpha+\beta)\vec{OC}}{\sin 2\alpha+\sin 2\beta-\sin 2(\alpha+\beta)}$
→解答を隠す←

【|ベクトル|の変形】
• |ベクトル|は2乗して，内積を使って表すとよい
$\mid\vec{a}+\vec{b}\mid^2=(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})$
$=\mid\vec{a}\mid^2+ 2\vec{a}\cdot\vec{b}+\mid\vec{b}\mid^2$

【問題5】
　２つのベクトル $\vec{a},\hspace{2}\vec{b}$ は，２つの関係式 $\vec{a}\cdot\vec{b}=3,$ $\mid\vec{a}\mid^2+\mid\vec{b}\mid^2=19$ をみたしているものとする．このとき， $\mid\vec{a}+\vec{b}\mid$ の値を求めよ．

（2000年度東京電機大理工学部）

［解答を見る］

（解答）
$\mid\vec{a}+\vec{b}\mid^2=\mid\vec{a}\mid^2+ 2\vec{a}\cdot\vec{b}+\mid\vec{b}\mid^2$
$=19+ 2\times 3=25$
だから
$\mid\vec{a}+\vec{b}\mid=5\hspace{10}(\gt 0)$ ･･･（答）
→解答を隠す←

【問題6】
　２つのベクトル $\vec{a},\hspace{2}\vec{b}$ について， $\mid\vec{a}\mid=1,\hspace{2}\mid\vec{b}\mid=2,\hspace{2}$ $\mid 3\vec{a}-\vec{b}\mid=\sqrt{7}$ のとき，内積 $\vec{a}\cdot\vec{b}$ の値は　である．

（2011年度京都産業大理学部）

［解答を見る］

（解答）
$\mid 3\vec{a}-\vec{b}\mid^2=9\mid\vec{a}\mid^2-6\vec{a}\cdot\vec{b}+\mid\vec{b}\mid^2=7$
だから
$6\vec{a}\cdot\vec{b}=6$
$\vec{a}\cdot\vec{b}=1$ ･･･（答）
→解答を隠す←

【２つのベクトルのなす角】
• ２つのベクトル $\vec{a},\hspace{2}\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とすると
$\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\mid\vec{a}\mid\hspace{2}\mid\vec{b}\mid}$

【問題7】
　 $\vec{0}$ でない２つのベクトル $\vec{a},\hspace{2}\vec{b}$ について， $\mid\vec{a}\mid=2\mid\vec{b}\mid$ および $\mid\vec{a}+ 2\vec{b}\mid=2\mid\vec{a}-\vec{b}\mid$ が成り立つとき， $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角 $\theta$ を求めよ．

（2011年度信州大工学部）

［解答を見る］

• $\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\mid\vec{a}\mid\hspace{2}\mid\vec{b}\mid}$ を計算する．

（解答）
$\mid\vec{a}+ 2\vec{b}\mid=2\mid\vec{a}-\vec{b}\mid$
より
$\mid\vec{a}+ 2\vec{b}\mid^2=4\mid\vec{a}-\vec{b}\mid^2$
$\mid\vec{a}\mid^2+ 4\vec{a}\cdot\vec{b}+ 4\mid\vec{b}\mid^2=4(\mid\vec{a}\mid^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+\mid\vec{b}\mid^2)$
$3\mid\vec{a}\mid^2=12\vec{a}\cdot\vec{b}$
$3\mid\vec{a}\mid^2=12\mid\vec{a}\mid\hspace{2}\mid\vec{b}\mid\cos\theta$
$\mid\vec{a}\mid=2\mid\vec{b}\mid$ を代入すると
$12\mid\vec{b}\mid^2=24\mid\vec{b}\mid^2\cos\theta$
$\cos\theta=\frac{1}{2}$
$\theta=60^{\circ}$ ･･･（答）
→解答を隠す←

【問題8】

　三角形ABCは点Oを中心とする半径1の円に内接していて $3\vec{OA}+ 4\vec{OB}+ 5\vec{OC}=\vec{0}$ を満たしているとする．
(1) 内積 $\vec{OA}\cdot\vec{OB},\hspace{2}\vec{OB}\cdot\vec{OC},\hspace{2}\vec{OC}\cdot\vec{OA}$ を求めよ．
(2) 三角形ABCの面積を求めよ．

（2000年度高知大）

［解答を見る］

• $\vec{OA}\cdot\vec{OB},\hspace{2}\vec{OB}\cdot\vec{OC},\hspace{2}\vec{OC}\cdot\vec{OA}$ を未知数とする連立方程式を作ればよい．

（解答）
(1) 見やすくするため $\vec{OA}=\vec{a},\hspace{2}\vec{OB}=\vec{b},\hspace{2}\vec{OC}=\vec{c}$ と書く．さらに， $x=\vec{a}\cdot\vec{b},\hspace{2}y=\vec{b}\cdot\vec{c},\hspace{2}z=\vec{c}\cdot\vec{a}$ とおくと， $x,\hspace{2}y,\hspace{2}z$ を未知数とする連立方程式を解けばよい．
$|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$ を用いて
$3\vec{a}+ 4\vec{b}+ 5\vec{c}=\vec{0}$ の両辺と $\vec{a},\hspace{2}\vec{b},\hspace{2}\vec{c}$ の内積を作ると
$3|\vec{a}|^2+ 4\vec{a}\cdot\vec{b}+ 5\vec{a}\cdot\vec{c}=0$
$4x+ 5z=-3$ ･･･①

$3\vec{a}\cdot\vec{b}+ 4|\vec{b}|^2+ 5\vec{b}\cdot\vec{c}=0$
$3x+ 5y=-4$ ･･･②

$3\vec{a}\cdot\vec{c}+ 4\vec{b}\cdot\vec{c}+ 5|\vec{c}|^2=0$
$3z+ 4y=-5$ ･･･③

①×3−③×5によりzを消去
$12x-20y=16$
$3x-5y=4$ ･･･④
②④より
$x=0,\hspace{2}y=-\frac{4}{5}$
これを①に代入
$z=-\frac{3}{5}$
ゆえに
$\vec{OA}\cdot\vec{OB}=0,\hspace{2}\vec{OB}\cdot\vec{OC}=-\frac{4}{5},\hspace{2}\vec{OC}\cdot\vec{OA}=-\frac{3}{5}$ ･･･(答)

(2)
$\vec{a},\hspace{2}\vec{b}$ のなす角をαとすると，
$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\alpha=\cos\alpha$
$\sin\alpha=\sqrt{1-\cos^2\alpha}=1$
$\triangle OAB=\frac{1}{2}OA\cdot OB\sin\alpha$
$=\frac{1}{2}$
同様にして
$\triangle OBC=\frac{1}{2}OB\cdot OC\sin\beta$
$=\frac{1}{2}\sqrt{1-(-\frac{4}{5})^2}=\frac{1}{2}\times\frac{3}{5}=\frac{3}{10}$
$\triangle OCA=\frac{1}{2}OC\cdot OB\sin\gamma$
$=\frac{1}{2}\sqrt{1-(-\frac{3}{5})^2}=\frac{1}{2}\times\frac{4}{5}=\frac{2}{5}$
$\triangle ABC=\triangle OAB+\triangle OBC+\triangle OCA$
$=\frac{1}{2}+\frac{3}{10}+\frac{2}{5}=\frac{6}{5}$ ･･･（答）
→解答を隠す←

【問題9】

　ベクトル $\vec{a},\hspace{2}\vec{b},\hspace{2}\vec{c}$ は条件 $\frac{|\vec{a}|}{2}=\frac{|\vec{b}|}{3\sqrt{2}}=\frac{|\vec{c}|}{3\sqrt{3}},$
$3\sqrt{3}\vec{a}+ 3\sqrt{2}\vec{b}+ 2\vec{c}=\vec{0}$ をみたすとする．
(1) ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角度を求めよ．
(2) ベクトル $t\vec{a}-\vec{c}$ と $\vec{b}$ が直交するように実数 $t$ を定めよ．

（2000年度立教大理学部）

［解答を見る］

（解答）
(1)
$3\sqrt{3}\vec{a}+ 3\sqrt{2}\vec{b}=-2\vec{c}$
の辺々の内積を作ると
$(3\sqrt{3})^2|\vec{a}|^2+ 2\cdot 3\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{2}\cdot\vec{a}\cdot\vec{b}+ (3\sqrt{2})^2|\vec{b}|^2=|-2\vec{c}|^2$
ここで，仮定により
$|\vec{a}|=2k,\hspace{2}|\vec{b}|=3\sqrt{2}k,\hspace{2}|\vec{c}|=3\sqrt{3}k\hspace{2}(k\gt 0)$
とおけるから
$27\cdot(2k)^2+ 18\sqrt{6}\vec{a}\cdot\vec{b}+ 18\cdot(3\sqrt{2}k)^2=(6\sqrt{3}k)^2$
$108k^2+ 18\sqrt{6}\vec{a}\cdot\vec{b}+ 324k^2=108k^2$
$18\sqrt{6}\vec{a}\cdot\vec{b}=-324k^2$
ベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角度をθとおくと
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\mid\vec{a}\mid\hspace{1}\mid\vec{b}\mid\cos\theta=2k\cdot 3\sqrt{2}k\cos\theta$ ･･･(*1)
だから
$18\sqrt{6}\cdot 2k\cdot 3\sqrt{2}k\cos\theta=-324k^2$
$\cos\theta=-\frac{324}{216\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\theta=150^{\circ}$ ･･･(答)
(2)
$(t\vec{a}-\vec{c})\cdot\vec{b}=0$
$t\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{c}\cdot\vec{b}$
$t=\frac{\vec{c}\cdot\vec{b}}{\vec{a}\cdot\vec{b}}$
ここで，(*1)より
$\vec{a}\cdot\vec{b}=6\sqrt{2}k^2\times(-\frac{\sqrt{3}}{2})=-3\sqrt{6}k^2$ ･･･(*2)
また， $\vec{c}\cdot\vec{b}$ は次の式から求められる
$3\sqrt{2}\vec{b}+ 2\vec{c}=-3\sqrt{3}\vec{a}$
の辺々の内積を作ると
$(3\sqrt{2})^2|\vec{b}|^2+ 12\sqrt{2}\vec{b}\cdot\vec{c}+ 4|\vec{c}|^2=27|\vec{a}|^2$
$324k^2+ 12\sqrt{2}\vec{b}\cdot\vec{c}+ 108k^2=108k^2$
$\vec{b}\cdot\vec{c}=-\frac{324}{12\sqrt{2}}k^2=-\frac{27}{\sqrt{2}}k^2$ ･･･(*3)
(*2)(*3)より
$t=\frac{\vec{c}\cdot\vec{b}}{\vec{a}\cdot\vec{b}}=\frac{27k^2}{\sqrt{2}}\times\frac{1}{3\sqrt{6}k^2}=\frac{27}{3\sqrt{12}}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ ･･･（答）
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【ベクトルの垂直条件】
• いずれも $\vec{0}$ でない２つのベクトル $\vec{a},\hspace{2}\vec{b}$ が垂直であるための必要十分条件は
$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$

【問題10】
　 $\triangle ABC$ において $OA=3,\hspace{2}OB=2,$ ∠ $AOB=60^{\circ}$ とする． $\triangle OAB$ の垂心をHとするとき， $\vec{OH}$ を $\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ を用いて表せ．

（2021年度京都大文系）

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（解答）
$\vec{OA}=\vec{a},\hspace{2}\vec{OB}=\vec{b}$ と略す
$\vec{OH}=x\vec{OA}+ y\vec{OB}$ とおく

$\vec{OH}\perp\vec{AB}$ だから
$\vec{OH}\cdot\vec{AB}$
$=(x\vec{a}+ y\vec{b})\cdot(\vec{b}-\vec{a})=0$
$x\vec{a}\cdot(\vec{b}-\vec{a})+ y\vec{b}\cdot(\vec{b}-\vec{a})=0$
$x(\vec{a}\cdot\vec{b}-|\vec{a}|^2)+ y(|\vec{b}|^2-\vec{b}\cdot\vec{a})=0$
ここで
$|\vec{a}|=3,\hspace{2}|\vec{b}|=2$
$\vec{a}\cdot\vec{b}=3\times 2\times\cos 60^{\circ}=3$
だから
$x(3-9)+ y(4-3)=0$
$-6x+ y=0$ ･･･(1)

$\vec{AH}\perp\vec{OB}$ だから
$\vec{AH}\cdot\vec{OB}$
$=\{(x-1)\vec{a}+ y\vec{b}\}\cdot\vec{b}=0$
$(x-1)\vec{a}\cdot\vec{b}-y|\vec{b}|^2=0$
$3(x-1)-4y=0$ ･･･(2)

(1)(2)より
$x=\frac{1}{9},\hspace{2}y=\frac{2}{3}$

$\vec{OH}=\frac{1}{9}\vec{OA}+\frac{2}{3}\vec{OB}$ ･･･(答)
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【問題11】

　 $\triangle ABC$ において $\vec{AB}=\vec{b},\hspace{2}\vec{AC}=\vec{c}$ とする．
$|\vec{b}|=3,\hspace{2}|\vec{c}|=2,\hspace{2}\vec{b}\cdot\vec{c}=2$ を満たすとき，
(1)　 $C$ から直線 $AB$ への垂線の足を $K$ とするとき， $\vec{CK}$ を $\vec{b},\hspace{2}\vec{c}$ で表せ．
(2)　 $A$ から直線 $BC$ への垂線の足を $L$ とするとき， $\vec{AL}$ を $\vec{b},\hspace{2}\vec{c}$ で表せ．
(3)　直線 $AL$ と直線 $CK$ との交点を $H$ とするとき， $\vec{AH}$ を $\vec{b},\hspace{2}\vec{c}$ で表せ．

（2000年度龍谷大理工学部）

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（解答）
(1)　 $\vec{CK}=k\vec{b}-\vec{c}$ とおく
$\vec{CK}\perp\vec{b}$ だから
$(k\vec{b}-\vec{c})\cdot\vec{b}=0$
$k|\vec{b}|^2=\vec{c}\cdot\vec{b}$
$9k=2$
$k=\frac{2}{9}$
ゆえに
$\vec{CK}=\frac{2}{9}\vec{b}-\vec{c}$ ･･･（答）

(2)　 $\vec{AL}=\vec{b}+ s(\vec{c}-\vec{b})=(1-s)\vec{b}+ s\vec{c}$ とおく
$\vec{AL}\perp\vec{BC}$ だから
$\{(1-s)\vec{b}+ s\vec{c}\}\cdot(\vec{c}-\vec{b})=0$
$(1-s)\vec{b}\cdot(\vec{c}-\vec{b})+ s\vec{c}\cdot(\vec{c}-\vec{b})=0$
$(1-s)(\vec{b}\cdot\vec{c}-|\vec{b}|^2)+ s(|\vec{c}|^2-\vec{c}\cdot\vec{b})=0$
$(1-s)(2-9)+ s(4-2)=0$
$7(s-1)+ 2s=0$
$9s=7$
$s=\frac{7}{9}$

$\vec{AL}=\frac{2}{9}\vec{b}+\frac{7}{9}\vec{c}$ ･･･（答）

(3)
$\vec{AH}=s\vec{AL}=\vec{AC}+ t\vec{CK}$ となる定数 $s,\hspace{2}t$ を求める
$\vec{AH}=s\vec{AL}=s(\frac{2}{9}\vec{b}+\frac{7}{9}\vec{c})$
$\vec{AH}=\vec{AC}+ t\vec{CK}=\vec{c}+ t(\frac{2}{9}\vec{b}-\vec{c})=\frac{2}{9}t\vec{b}+ (1-t)\vec{c}$
互いに平行でなく零ベクトルでもない２つのベクトル $\vec{b},\hspace{2}\vec{c}$ に対して，これらが等しくなるには，対応する係数が等しいことが条件になる

$\frac{2s}{9}=\frac{2t}{9}$ ･･･①
$\frac{7s}{9}=1-t$ ･･･②
①より $t=s$
これを②に代入すると
$\frac{7s}{9}=1-s$
$7s=9-9s$
$16s=9$
$s=\frac{9}{16}$
$\vec{AH}=\frac{9}{16}(\frac{2}{9}\vec{b}+\frac{7}{9}\vec{c})=\frac{1}{8}\vec{b}+\frac{7}{16}\vec{c}$ ･･･（答）
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【問題12】

　角Aが鈍角の三角形ABCにおいてAB=2，AC=3であり，三角形ABCの面積は $2\sqrt{2}$ である．
　このとき、三角形ABCの垂心をHとすると

$\vec{AH}=$	ナ $\vec{AB}+$ ニ $\vec{AC}$
	ヌ

である．

（2014年度早稲田大人間科学部）

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面積からsinAを計算して，内積を求める
$S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin A\Longrightarrow \sin A$
$\downarrow$
$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=AB\cdot AC\cos A\Longleftarrow \cos A$

（解答）
$\frac{1}{2}\times 2\times 3\sin A=2\sqrt{2}$
だから
$\sin A=\frac{2\sqrt{2}}{3}$
Aは鈍角だからcosA<0
$\cos A=-\sqrt{1-(\frac{2\sqrt{2}}{3})^2}=-\frac{1}{3}$
$\vec{AB}\cdot\vec{AC}=AB\cdot AC\cos A=2\times 3\times(-\frac{1}{3})=-2$

$\vec{AH}=x\vec{AB}+ y\vec{AC}$ とおく.簡単のために，さらに $\vec{AB}=\vec{b},\hspace{2}\vec{AC}=\vec{c}$ とすると
$|\vec{b}|=2,\hspace{2}|\vec{c}|=3,\hspace{2}\vec{b}\cdot\vec{c}=-2$
$\vec{AH}\perp\vec{BC}$ だから
$(x\vec{b}+ y\vec{c})\cdot(\vec{c}-\vec{b})=0$
$x(\vec{b}\cdot\vec{c}-|\vec{b}|^2)+ y(|\vec{c}|^2-\vec{c}\cdot\vec{b})=0$
$x(-2-4)+ y(9+ 2)=0$
$-6x+ 11y=0$ ･･･(1)
$\vec{BH}\perp\vec{AC}$ だから
$\vec{BH}=\vec{AH}-\vec{AB}$ に注意すると
$\{(x-1)\vec{b}+ y\vec{c}\}\cdot\vec{c}=0$
$(x-1)\vec{b}\cdot\vec{c}+ y|\vec{c}|^2=0$
$-2(x-1)+ 9y=0$ ･･･(2)
(1)(2)の連立方程式を解くと
$x=-\frac{11}{16},\hspace{2}y=-\frac{3}{8}$

$\vec{AH}=$	−11 $\vec{AB}+$ −6 $\vec{AC}$
	16

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