１次不等式（基本問題）

→ スマホ用は別頁

=== 読者が配色を変更したい場合 ===
◎外側の色を変えるには，次の色をクリック

◎内側の色を変えるには，次の色をクリック

◎標準文字色を変えるには，次の色をクリック

== １次不等式（基本問題） ==
　次の不等式の解を求めて，選択肢の中から，正しいものをクリック（タップ）してください．
　解答を選べば「採点結果が〇，Ｘで表示され」「解説を読む」というボタンが表示されます．
　解答しなければ，解説・解答は出ません．

「まぐれ当たり」では力は付きません．必ず計算用紙などを使って十分考えてから答えてください．

■整数係数の1次不等式■

【問題1-1】
　 $4x+ 3\gt 2x+ 9$
【選択肢】
$x\gt 2$ $x\gt 3$ $x\lt 2$ $x\lt 3$

［解説を読む］

xの項を左辺に移項し，定数項を右辺に移項する
$4x-2x\gt 9-3$
$2x\gt 6$
両辺をxの係数2で割る．xの係数が正の数だから，不等号の向きは変えない．
$x\gt 3$ ･･･（答） →解説を隠す←

【問題1-2】
　 $2x-3\gt 4x+ 1$
【選択肢】
$x\gt -2$ $x\lt 2$ $x\lt -2$ $x\gt 2$

［解説を読む］

xの項を左辺に移項し，定数項を右辺に移項する
$2x-4x\gt 1+ 3$
$-2x\gt 4$
両辺をxの係数−2で割る．xの係数が負の数だから，不等号の向きを変える．
$x\lt -2$ ･･･（答） →解説を隠す←

【問題1-3】
　 $-3x+ 8\underset{=}{\lt} 4x-6$
【選択肢】
$x\underset{=}{\lt} -2$ $x\underset{=}{\gt} -2$ $x\underset{=}{\lt} 2$ $x\underset{=}{\gt} 2$

［解説を読む］

xの項を左辺に移項し，定数項を右辺に移項する
$-3x-4x\underset{=}{\lt} -6-8$
$-7x\underset{=}{\lt} -14$
両辺をxの係数−7で割る．xの係数が負の数だから，等号付き不等号の向きを変える．
$x\underset{=}{\gt} 2$ ･･･（答） →解説を隠す←

【問題1-4】
　 $2x-6\underset{=}{\lt}5(x-1)$
【選択肢】
$x\underset{=}{\gt}\frac{1}{3}$ $x\underset{=}{\gt}-\frac{1}{3}$ $x\underset{=}{\lt}\frac{1}{3}$ $x\underset{=}{\lt}-\frac{1}{3}$

［解説を読む］

右辺のかっこを外して，展開する
$2x-6\underset{=}{\lt}5x-5$
xの項を左辺に移項し，定数項を右辺に移項する
$2x-5x\underset{=}{\lt} -5+ 6$
$-3x\underset{=}{\lt} 1$
両辺をxの係数−3で割る．xの係数が負の数だから，等号付き不等号の向きを変える．
$x\underset{=}{\gt}-\frac{1}{3}$ ･･･（答） →解説を隠す←

■小数係数の1次不等式■

【問題2-1】
　 $0.1x\lt 0.4-0.5x$
【選択肢】
$x\gt 1$ $x\gt\frac{2}{3}$ $x\lt 1$ $x\lt\frac{2}{3}$

［解説を読む］

係数が小数になっているときは，両辺を10倍(100倍)などして整数係数に直して解く方法［以下A］と小数係数のまま解く方法［以下B］が考えられます

［A］
両辺を10倍する
$x\lt 4-5x$
xの項を左辺に移項する
$x+ 5x\lt 4$
$6x\lt 4$
両辺をxの係数6で割る．xの係数が正の数だから，不等号の向きを変えない．
$x\lt\frac{2}{3}$ ･･･（答）

［B］
xの項を左辺に移項する
$0.1x+ 0.5x\lt 0.4$
$0.6x\lt 0.4$
両辺をxの係数0.6で割る．xの係数が正の数だから，不等号の向きを変えない．
$x\lt\frac{2}{3}$ ･･･（答）

→解説を隠す←

【問題2-2】
　 $0.6x-0.5\underset{=}{\gt} 0.2(x-3)$
【選択肢】
$x\gt\frac{1}{8}$ $x\underset{=}{\lt}\frac{1}{4}$ $x\lt\frac{1}{8}$ $x\underset{=}{\gt}-\frac{1}{4}$

［解説を読む］

係数が小数になっているときは，両辺を10倍(100倍)などして整数係数に直して解く方法［以下A］と小数係数のまま解く方法［以下B］が考えられます

［A］
両辺を10倍する
$6x-5\underset{=}{\gt}2(x-3)$
（※0.2に10を掛けたら，(x−3)には10を掛けない！）
右辺を展開する
$6x-5\underset{=}{\gt}2x-6$
xの項を左辺に移項し，定数項を右辺に移項する
$6x-2x\underset{=}{\gt}-6+ 5$
$4x\underset{=}{\gt}-1$
両辺をxの係数4で割る．xの係数が正の数だから，等号付き不等号の向きを変えない．
$x\underset{=}{\gt}-\frac{1}{4}$ ･･･（答）

［B］
右辺を展開する
$0.6x-0.5\underset{=}{\gt}0.2x-0.6$
xの項を左辺に移項し，定数項を右辺に移項する
$0.6x-0.2x\underset{=}{\gt}-0.6+ 0.5$
$0.4x\underset{=}{\gt}-0.1$
両辺をxの係数0.4で割る．xの係数が正の数だから，等号付き不等号の向きを変えない．
$x\underset{=}{\gt}-\frac{1}{4}$ ･･･（答）

→解説を隠す←

【問題2-3】
　 $-0.7x+ 2.3\gt-0.62x-0.1$
【選択肢】
x<30 x>30 x<−3 x>−3

［解説を読む］

係数が小数になっているときは，両辺を10倍(100倍)などして整数係数に直して解く方法［A］と小数係数のまま解く方法［B］が考えられます
以下はAの方法の答案

［A］
両辺を100倍する
−70x+230>−62x−10
xの項を左辺に移項し，定数項を右辺に移項する
−70x+62x> −10−230
−8x>−240
両辺をxの係数−8で割る．xの係数が負の数だから，不等号の向きを変える．
x<30･･･（答）

→解説を隠す←

【問題2-4】
　 $-0.3(x-0.2)\underset{=}{\lt}0.2(x-0.1)$
【選択肢】
$x\underset{=}{\lt}\frac{4}{25}$ $x\underset{=}{\gt}\frac{4}{25}$ $x\underset{=}{\lt}-\frac{4}{25}$ $x\underset{=}{\gt}-\frac{4}{25}$

［解説を読む］

係数が小数になっているときは，両辺を10倍(100倍)などして整数係数に直して解く方法［A］と小数係数のまま解く方法［B］が考えられます
以下はBの方法の答案

［B］
左辺と右辺を展開する
$-0.3x+ 0.06\underset{=}{\lt}0.2x-0.02$
xの項を左辺に移項し，定数項を右辺に移項する
$-0.3x-0.2x\underset{=}{\lt}-0.02-0.06$
$-0.5x\underset{=}{\lt}-0.08$
両辺をxの係数−0.5で割る．xの係数が負の数だから，等号付き不等号の向きを変える．
$x\underset{=}{\gt}\frac{4}{25}$ ･･･（答）

→解説を隠す←

■分数係数の1次不等式■

【問題3-1】
　 $\frac{1}{2}+\frac{2}{3}x\underset{=}{\gt}\frac{3x}{4}+\frac{2}{5}$
【選択肢】
$x\underset{=}{\lt}-\frac{6}{5}$ $x\underset{=}{\gt}-\frac{6}{5}$ $x\underset{=}{\lt}\frac{6}{5}$ $x\underset{=}{\gt}\frac{6}{5}$

［解説を読む］

係数が分数になっているときは，分母の最小公倍数を掛けて整数係数に直して解く方法［A］と分数のまま解く方法［B］が考えられます
以下はAの方法の答案

［A］
両辺に各々60を掛けて整数係数にする
$30+ 40x\underset{=}{\gt}45x+ 24$
xの項を左辺に移項し，定数項を右辺に移項する
$40x-45x\underset{=}{\gt}24-30$
$-5x\underset{=}{\gt}-6$
両辺をxの係数−5で割る．xの係数が負の数だから，等号付き不等号の向きを変える．
$x\underset{=}{\lt}\frac{6}{5}$ ･･･（答）

→解説を隠す←

【問題3-2】
　 $x-\frac{1}{2}\lt\frac{1}{3}(x-1)$
【選択肢】
$x\gt\frac{1}{4}$ $x\lt\frac{1}{4}$ $x\gt-\frac{1}{4}$ $x\lt-\frac{1}{4}$

［解説を読む］

係数が分数になっているときは，分母の最小公倍数を掛けて整数係数に直して解く方法［A］と分数のまま解く方法［B］が考えられます
以下はAの方法の答案

［A］
両辺に各々6を掛けて整数係数にする
$6x-3\lt 2(x-1)$
$6x-3\lt 2x-2$
xの項を左辺に移項し，定数項を右辺に移項する
$6x-2x\lt -2+ 3$
$4x\lt 1$
両辺をxの係数4で割る．xの係数が正の数だから，不等号の向きを変えない．
$x\lt\frac{1}{4}$ ･･･（答）

→解説を隠す←

【問題3-3】
　 $\frac{2x-1}{3}\underset{=}{\lt}\frac{3x+ 1}{4}$
【選択肢】
x≦7 x≧7 x≦−7 x≧−7

［解説を読む］

両辺に各々12を掛けて分母を払う
$4(2x-1)\underset{=}{\lt}3(3x+ 1)$
$8x-4\underset{=}{\lt}9x+ 3$
xの項を左辺に移項し，定数項を右辺に移項する
$8x-9x\underset{=}{\lt}3+ 4$
$-x\underset{=}{\lt} 7$
両辺をxの係数−1で割る．xの係数が負の数だから，不等号の向きを変える．
$x\underset{=}{\gt}-7$ ･･･（答）

→解説を隠す←

【問題3-4】
　 $\frac{3(x+ 1)}{2}\gt\frac{2-x}{5}$
【選択肢】
$x\gt-\frac{11}{17}$ $x\lt-\frac{11}{17}$ $x\gt\frac{11}{17}$ $x\lt\frac{11}{17}$

［解説を読む］

両辺に各々10を掛けて分母を払う
$15(x+ 1)\gt 2(2-x)$
$15x+ 15\gt 4-2x$
xの項を左辺に移項し，定数項を右辺に移項する
$15x+ 2x\gt 4-15$
$17x\gt -11$
両辺をxの係数17で割る．xの係数が正の数だから，不等号の向きを変えない．
$x\gt-\frac{11}{17}$ ･･･（答）

→解説を隠す←

• 絶対値付きの不等式を解くとき，次の(1)(2)のような特別な場合もあるが，通常は【問題4-1】以下のように場合分けして解くとよい．

$a\gt 0$ のとき
$|x|\lt a\hspace{5}\Longleftrightarrow\hspace{5}-a\lt x\lt a$ ･･･(1)
$|x|\gt a\hspace{5}\Longleftrightarrow\hspace{5}x\lt -a,\hspace{5}a\lt x$ ･･･(2)

• 絶対値記号が2つあるときは3つの区間に分け,絶対値記号が3つあるときは4つの区間に分ける

■絶対値記号のある1次不等式■

【問題4-1】
　 $\mid\hspace{2} 2x-1\hspace{2}\mid\lt 3x+ 2$
【選択肢】
$x\gt-3$ $-\frac{1}{5}\lt x\lt \frac{1}{2}$ $x\gt-\frac{1}{5}$ $x \gt\frac{1}{2}$

［解説を読む］

ア） $x\lt\frac{1}{2}$ のとき
$-(2x-1)\lt 3x+ 2$
$-2x+ 1\lt 3x+ 2$
$-2x-3x\lt 2-1$
$-5x\lt 1$
$x\gt-\frac{1}{5}$
したがって， $-\frac{1}{5}\lt x\lt\frac{1}{2}$
イ） $x\underset{=}{\gt}\frac{1}{2}$ のとき
$2x-1\lt 3x+ 2$
$2x-3x\lt 2+ 1$
$-x\lt 3$
$x\gt -3$

したがって， $x\underset{=}{\gt}\frac{1}{2}$
ア）イ）より，結局 $x\gt-\frac{1}{5}$ ･･･（答）
→解説を隠す←

【問題4-2】
　 $\mid\hspace{2} 2x-3\hspace{2}\mid\underset{=}{\gt} x+ 2$
【選択肢】
$x\underset{=}{\lt}\frac{3}{2}$ $x\underset{=}{\gt}\frac{1}{3}$ $\frac{1}{3}\underset{=}{\lt}x\underset{=}{\lt}5$ $x\underset{=}{\lt}\frac{1}{3},\hspace{3}5\underset{=}{\lt}x$

［解説を読む］

ア） $x\lt\frac{3}{2}$ のとき
$-(2x-3)\underset{=}{\gt} x+ 2$
$-2x+ 3\underset{=}{\gt} x+ 2$
$-2x-x\underset{=}{\gt} 2-3$
$-3x\underset{=}{\gt} -1$
$x\underset{=}{\lt}\frac{1}{3}$
したがって， $x\underset{=}{\lt}\frac{1}{3}$
イ） $x\underset{=}{\gt}\frac{3}{2}$ のとき
$2x-3\underset{=}{\gt} x+ 2$
$2x-x\underset{=}{\gt} 2+ 3$
$x\underset{=}{\gt} 5$
したがって， $x\underset{=}{\gt}5$
ア）イ）より，結局 $x\underset{=}{\lt}\frac{1}{3},\hspace{3}5\underset{=}{\lt}x$ ･･･（答）
→解説を隠す←

【問題4-3】
　 $\mid\hspace{2} x\hspace{2}\mid+\mid\hspace{2} x-1\hspace{2}\mid\underset{=}{\lt} x+ 2$
【選択肢】
$-\frac{1}{3}\underset{=}{\lt}x\lt 3$ $-\frac{1}{3}\lt x\underset{=}{\lt}3$
$-\frac{1}{3}\lt x\lt 3$ $-\frac{1}{3}\underset{=}{\lt}x\underset{=}{\lt}3$

［解説を読む］

ア） $x\lt 0$ のとき
$-x-(x-1)\underset{=}{\lt} x+ 2$
$-3x\underset{=}{\lt} 1$
$x\underset{=}{\gt}-\frac{1}{3}$
したがって， $-\frac{1}{3}\underset{=}{\lt}x\lt 0$
イ） $0\underset{=}{\lt}x\lt 1$ のとき
$x-(x-1)\underset{=}{\lt} x+ 2$
$-1\underset{=}{\lt} x$
したがって， $0\underset{=}{\lt}x\lt 1$
ウ） $1\underset{=}{\lt}x$ のとき
$x+(x-1)\underset{=}{\lt} x+ 2$
$x\underset{=}{\lt} 3$
したがって， $1\underset{=}{\lt}x\underset{=}{\lt}3$
ア）イ）ウ）より，結局 $-\frac{1}{3}\underset{=}{\lt}x\underset{=}{\lt}3$ ･･･（答）
→解説を隠す←

【問題4-4】
　 $\mid\hspace{2} x+ 1\hspace{2}\mid+ 2\hspace{2}\mid\hspace{2} x-1\hspace{2}\mid \lt 3$
【選択肢】
$x\lt 0$ $0\lt x\lt\frac{4}{3}$ $-3\lt x\lt 2$ $x\gt \frac{4}{3}$

［解説を読む］

ア） $x\lt -1$ のとき
$-(x+ 1)-2(x-1)\lt 3$
$-x-1-2x+ 2\lt 3$
$3x\gt -2$
$x\gt-\frac{2}{3}$
　　ここからは，解は出ない
イ） $-1\underset{=}{\lt}x\lt 1$ のとき
$(x+ 1)-2(x-1)\lt 3$
$x+ 1-2x+ 2\lt 3$
$x\gt 0$
　　したがって， $0\lt x\lt 1$
ウ） $1\underset{=}{\lt}x$ のとき
$(x+ 1)+ 2(x-1)\lt 3$
$x+ 1+ 2x-2\lt 3$
$3x\lt 4$
$x\lt\frac{4}{3}$
したがって， $1\underset{=}{\lt}x\lt\frac{4}{3}$
ア）イ）ウ）より，結局 $0\lt x\lt\frac{4}{3}$ ･･･（答）
→解説を隠す←

【連立不等式の解き方】
• 中学校で習ったように連立方程式は，２つの方程式を足したり引いたり，代入したりして変数の個数を減らして解く．

2x+3y=5･･･(1)
2x−3y=−1･･･(2)
⇒ (1)+(2)など
• これに対して，連立不等式を解くには，２つの不等式を足したり引いたりせずに，１つずつ解いて，それらの共通部分を求める．

2(x−2)>1･･･(3)
x+1<3(x+1)･･･(4)
⇒ (3)(4)を別々に解く

■1次の連立不等式■

【問題5-1】

2(x−2)>1
x+1<3(x+1)
【選択肢】
$-1\lt x\lt\frac{5}{2}$ $x\lt -1,\hspace{2}\frac{5}{2}\lt x$
$x\gt -1$ $x\gt\frac{5}{2}$

［解説を読む］

2(x−2)>1より
$2x-4\gt 1$
$2x\gt 5$
$x\gt\frac{5}{2}$ ･･･(1)

x+1<3(x+1)より
$x+ 1\lt 3x+ 3$
$-2x\lt 2$
$x\gt -1$ ･･･(2)
(1)(2)の共通部分を求めると $x\gt\frac{5}{2}$ ･･･（答）
→解説を隠す←

【問題5-2】

2x−1≧3
4x−1<3(x+1)
【選択肢】
x≧2 x>4 2≦x<4 x≦2, 4<x

［解説を読む］

2x−1≧3より
2x≧4
x≧2･･･(1)
4x−1<3(x+1)より
4x−1<3x+3
x<4･･･(2)
(1)(2)の共通部分を求めると2≦x<4･･･（答）
→解説を隠す←

【A<B<Cの形の連立不等式の解き方】

A<B･･･(1)
B<C･･･(2)
のように連立不等式に直して解くとよい．
※次の形にはならない

A<B･･･(1)
A<C･･･(2)

【問題5-3】
3x−5≦x<2x+1
【選択肢】
$-1\lt x\underset{=}{\lt}\frac{5}{2}$ $-1\lt x\underset{=}{\lt}6$ $x\gt -1$ $x\underset{=}{\lt}\frac{5}{2}$

［解説を読む］

3x−5≦x
x<2x+1
に直して解く
3x−5≦xより
$2x\underset{=}{\lt}5$
$x\underset{=}{\lt}\frac{5}{2}$ ･･･(1)
x<2x+1より
$-x\lt 1$
$x\gt -1$ ･･･(2)
(1)(2)の共通部分を求めると $-1\lt x\underset{=}{\lt}\frac{5}{2}$ ･･･（答）
→解説を隠す←

【問題5-4】
x−4≦3x−2≦x+6
【選択肢】
−2≦x≦8 −2<x<8 −1≦x≦4 −1<x<4
　

［解説を読む］

x−4≦3x−2
3x−2≦x+6
に直して解く
x−4≦3x−2より
−2x≦2
x≧−1･･･(1)
3x−2≦x+6より
2x≦8
x≦4･･･(2)
(1)(2)の共通部分を求めると−1≦x≦4･･･（答）
→解説を隠す←

【文字係数の不等式の解き方】
• 文字係数の不等式を解くときは，係数の文字が「正の数である場合」「負の数である場合」「０である場合」に分けて，不等号の向きを考えるとよい．

【例題6】
　aが定数であるとき，次の不等式をxについて解け．
ax>1

（解答）

ア） a>0のとき
$x\gt\frac{1}{a}$
イ） a=0のとき
　左辺は0になり，右辺は1だから，どんなxを持ってきても成り立たない．
ウ） a<0のとき
$x\lt\frac{1}{a}$

ア）の例
　例えば，a=2のとき
$x\gt\frac{1}{2}$
ウ）の例
　例えば，a=−3のとき
$x\lt\frac{1}{-3}$
※a自身が負の数だから， $x\lt-\frac{1}{a}$ などと考えないように

■文字係数の1次不等式■

【問題6-1】
aが定数であるとき，次の不等式をxについて解け．
ax<3x+4

［解説を読む］

(a−3)x<4と変形する
ア） a>3のとき
$x\lt\frac{4}{a-3}$
イ） a=3のとき
　左辺は0になり，右辺は4だから，どんなxを持ってきても成り立つ．すなわち，xはすべての実数
ウ） a<3のとき
$x\gt\frac{4}{a-3}$
→解説を隠す←

【問題6-2】
aが定数であるとき，次の不等式をxについて解け．
$ax+ 4\gt 2x+ a^2$

［解説を読む］

$(a-2)x\gt(a-2)(a+ 2)$ と変形する
ア） a>2のとき
x>a+2
イ） a=2のとき
　両辺とも0になるから，どんなxを持ってきても不等式は成り立たない．すなわち，解なし
ウ） a<2のとき
x<a+2

※aが−2よりも大きいか，小さいかに応じた場合分けは不要

→解説を隠す←

【問題6-3】
a, bが定数であるとき，次の不等式をxについて解け．
$ax-b\underset{=}{\lt}x-2$

［解説を読む］

$(a-1)x\underset{=}{\lt}b-2$ ･･･(1)と変形する
ア） a>1のとき
$x\underset{=}{\lt}\frac{b-2}{a-1}$
イ） a<1のとき
$x\underset{=}{\gt}\frac{b-2}{a-1}$
ウ） a=1のとき，(1)式の左辺は0になる

その1)

b≧2のとき，(1)式の右辺は0以上になるから，どんなxを持ってきても成り立つ．すなわち，xはすべての実数

その2)

b<2のとき，(1)式の右辺は負の数になるから，どんなxを持ってきても不等式は成り立たない．すなわち，解なし

→解説を隠す←

【問題6-4】
a, bが定数であるとき，次の不等式をxについて解け．
$a(x-1)\lt b(x+ 1)$

［解説を読む］

$ax-a\lt bx+ b$
$(a-b)x\lt a+ b$ ･･･(1)と変形する
ア） a>bのとき
$x\lt\frac{a+ b}{a-b}$
イ） a<bのとき
$x\gt\frac{a+ b}{a-b}$
ウ） a=bのとき，(1)式の左辺は0になる

その1)

a=b>0のとき，(1)式の右辺は正の数になるから，どんなxを持ってきても成り立つ．すなわち，xはすべての実数

その2)

a=b≦0のとき，(1)式の右辺は０以下の数になるから，どんなxを持ってきても不等式は成り立たない．すなわち，解なし

→解説を隠す←

...（PC版）メニューに戻る