加法定理を使った数値計算

== 加法定理を使った数値計算 ==

【例題1】
　sin45°, cos45°, sin30°, cos30°の値を利用して，sin15°, cos15°の値を求めてください．

（解答）
sin15°=sin(45°−30°)←加法定理
　=sin45°·cos30°−cos45°·sin30°
　 $=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}$
　 $=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ ･･･（答）
cos15°=cos(45°−30°)←加法定理
　=cos45°·cos30°+sin45°·sin30°
　 $=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}$
　 $=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ ･･･（答）

（備考1）
sin15°=sin(60°−45°)などを利用しても同様の結果が得られる
sin15°=sin(60°−45°)←加法定理
　=sin60°·cos45°−cos60°·sin45°
　 $=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$
　 $=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
cos15°=cos(60°−45°)←加法定理
　=cos60°·cos45°+sin60°·sin45°
　 $=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$
　 $=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

（備考2）
30°, 45°, 60°などの三角関数とは異なり，15°, 75°などの三角関数の値を暗唱する必要はないが，よく登場するので「見たことがある」「求め方は分かっている」程度にしておく方がよい．

【例題2】
　sin $\frac{5}{12}\pi$ , cos $\frac{5}{12}\pi$ ，tan $\frac{5}{12}\pi$ の値を求めてください．

（解答）

※数学Ⅱでは，度数法（六十分法），弧度法（単位はラジアン）の両方を習うので，三角関数の値を求める問題は，どちらの単位で出題されても答えられるようにしておくのがよい．

$\sin\frac{5}{12}\pi=\sin(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6})$
$=\sin\frac{\pi}{4}\cdot\cos\frac{\pi}{6}+\cos\frac{\pi}{4}\cdot\sin\frac{\pi}{6}$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}$
$=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
$\cos\frac{5}{12}\pi=\cos(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6})$
$=\cos\frac{\pi}{4}\cdot\cos\frac{\pi}{6}-\sin\frac{\pi}{4}\cdot\sin\frac{\pi}{6}$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}$
$=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
$\tan\frac{5}{12}\pi=\tan(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6})$

【正接の加法定理】
$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$

$=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$
$=\frac{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-1\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}}$
$=\frac{\sqrt{3}+ 1}{\sqrt{3}-1}=\frac{(\sqrt{3}+ 1)^2}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+ 1)}$
$=\frac{3+ 2\sqrt{3}+ 1}{2}=2+\sqrt{3}$

【問題1】
　sin105°, cos105°の値を求めてください．

解答を見る

sin105°=sin(60°+45°)
　=sin60°cos45°+cos60°sin45°

一般に
sin(90°+θ)=sin(90°−θ)
が成り立つから
左の値は，sin75°もしくはsin $\frac{5}{12}\pi$ と等しい

$=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$
$=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
cos105°=cos(60°+45°)
　=cos60°cos45°−sin60°sin45°

一般に
cos(90°+θ)=−cos(90°−θ)
が成り立つから
左の値は，−cos75°もしくは−cos $\frac{5}{12}\pi$ と等しい

$=\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$
$=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$
→解答を隠す←

【問題2】
　 $\sin(-\frac{7}{12}\pi),\hspace{3}\cos\frac{11}{12}\pi,\hspace{3}\tan\frac{\pi}{12}$ の値を求めてください．

解答を見る

一般に
　sin(−x)=−sinx
　cos(−x)=cosx
　tan(−x)=−tanx
が成り立つ．

$\sin(-\frac{7}{12}\pi)=-\sin\frac{7}{12}\pi$
$=-\sin(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4})$
$=-(\sin\frac{\pi}{3}\cos\frac{\pi}{4}+\cos\frac{\pi}{3}\sin\frac{\pi}{4})$
$=-(\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2})$
$=-\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$
$\cos\frac{11}{12}\pi=\cos(\frac{2}{3}\pi+\frac{\pi}{4})$
$=\cos\frac{2}{3}\pi\cdot\cos\frac{\pi}{4}-\sin\frac{2}{3}\pi\cdot\sin\frac{\pi}{4}$
$=(-\frac{1}{2})\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$
$=-\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$
$\tan\frac{\pi}{12}=\tan(\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4})$
$=\frac{\tan\frac{\pi}{3}-\tan\frac{\pi}{4}}{1+\tan\frac{\pi}{3}\cdot\tan\frac{\pi}{4}}$
$=\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}}=\frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3}+ 1)(\sqrt{3}-1)}$
$=\frac{3-2\sqrt{3}+ 1}{2}=2-\sqrt{3}$
→解答を隠す←

【2倍角公式】
　sin2α=2sinαcosα･･･(#1)
　cos2α=2cos2α−1=1−2sin2α･･･(#2)
　 $\tan 2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$ ･･･(#3)
【半角公式】
2倍角公式のうちでcos2α=···の式を，逆に解いたものを半角公式という．
（上記の#2を変形する.(#1)(#3)からは変形しない）
　 $\sin^2\alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{2}$ もしくは $\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}$
　 $\cos^2\alpha=\frac{1+\cos 2\alpha}{2}$ もしくは $\cos^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1+\cos\alpha}{2}$
　 $\tan^2\alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{1+\cos 2\alpha}$ もしくは $\tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos \alpha}{1+\cos \alpha}$
※ $\tan^2\alpha=\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$ を使う

※筆者は，自分の受験時代も含めて「半角公式は覚えない」ことにしていた．というのは，半角公式と言っても，書物によって，半角がαのもの，α/2のもの，式が±付き根号で書かれているものもあり，（各４通り計12通りもあるから体が受け付けない）
　あいまいなものなら覚えない方がましということで，「上記の二重下線の箇所を覚え」続きは試験会場で作っていた．

【問題3】
　２倍角公式・半角公式を用いて，sin22.5°, cos22.5°, tan22.5°の値を求めてください．

解答を見る

$\sin^222.5^{\circ}=\frac{1-\cos 45^{\circ}}{2}=\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}$
$=\frac{2-\sqrt{2}}{4}$
sin22.5°>0だから
$\sin 22.5^{\circ}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}$
※この二重根号は外れない．
$\cos^222.5^{\circ}=\frac{1+\cos 45^{\circ}}{2}=\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}$
$=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$
cos22.5°>0だから
$\cos 22.5^{\circ}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$
※この二重根号は外れない．
$\tan 22.5^{\circ}=\frac{\sin 22.5^{\circ}}{\cos 22.5^{\circ}}=\frac{\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}{\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}$
$=\sqrt{ \frac{2-\sqrt{2}} {2+\sqrt{2}} }=\sqrt{\frac{(2-\sqrt{2})^2}{4-2}}=\frac{2-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
$=\sqrt{2}-1$
→解答を隠す←

【例題3】
　α, βともに第1象限の角で， $\sin\alpha=\frac{3}{5},\hspace{3}\sin\beta=\frac{1}{2}$ のとき，sin(α+β), cos(α+β)の値を求めてください．

（解答）
αは第1象限の角で， $\sin\alpha=\frac{3}{5}$ だから
$\cos\alpha=\sqrt{1-\big(\frac{3}{5}\big)^2}=\frac{4}{5}$ (>0)
βは第1象限の角で， $\sin\beta=\frac{1}{2}$ だから
$\cos\beta=\sqrt{1-\big(\frac{1}{2}\big)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (>0)
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
$=\frac{3}{5}\times\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{4}{5}\times\frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{3}+ 4}{10}$ ---（答）
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
$=\frac{4}{5}\times\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{3}{5}\times\frac{1}{2}=\frac{4\sqrt{3}-3}{10}$ ---（答）

【例題4】
　αは第1象限の角，βは第2象限の角で， $\cos\alpha=\frac{1}{2},$
$\sin\beta=\frac{\sqrt{2}}{2}$ のとき，sin(α−β), cos(α−β)の値を求めてください．

（解答）
αは第1象限の角で， $\cos\alpha=\frac{1}{2}$ だから
$\sin\alpha=\sqrt{1-\big(\frac{1}{2}\big)^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (>0)
βは第2象限の角で， $\sin\beta=\frac\sqrt{2}}{2}$ だから
$\cos\beta=-\sqrt{1-\big(\frac{\sqrt{2}}{2}\big)^2}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ (<0)
sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
$=\frac{\sqrt{3}}{2}\times(-\frac{\sqrt{2}}{2})-\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{-\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ ---（答）
cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ
$=\frac{1}{2}\times(-\frac{\sqrt{2}}{2})+\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$ ---（答）

【問題4】
　αは第2象限の角，βは第1象限の角で，

$\cos\alpha=-\frac{3}{5},$ $\sin\beta=\frac{\sqrt{5}}{3}$ のとき，sin(α+β), cos(α−β)の値を求めてください．

解答を見る

（解答）
αは第2象限の角で， $\cos\alpha=-\frac{3}{5}$ だから
$\sin\alpha=\sqrt{1-\big(-\frac{3}{5}\big)^2}=\frac{4}{5}$ (>0)

βは第1象限の角で， $\sin\beta=\frac{\sqrt{5}}{3}$ だから
$\cos\beta=\sqrt{1-\big(\frac{\sqrt{5}}{3}\big)^2}=\frac{2}{3}$ (<0)
sin(α−β)=sinαcosβ−cosαsinβ
$=\frac{4}{5}\times\frac{2}{3}+(-\frac{3}{5})\times\frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{8-3\sqrt{5}}{15}$ ---（答）
cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ
$=(-\frac{3}{5})\times\frac{2}{3}+\frac{4}{5}\times\frac{\sqrt{5}}{3}=\frac{-6+ 4\sqrt{5}}{15}$ ---（答）
→解答を隠す←

【問題5】
　αは第1象限の角，βは第3象限の角で，

$\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2},$ $\cos\beta=-\frac{1}{2}$ のとき，tan(α+β), tan(α−β)の値を求めてください．

解答を見る

（解答）
αは第1象限の角で， $\sin\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$ だから
$\cos\alpha=\sqrt{1-\big(-\frac{\sqrt{2}}{2}\big)^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (>0)
$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=1$

βは第3象限の角で， $\cos\beta=-\frac{1}{2}$ だから
$\sin\beta=-\sqrt{1-\big(-\frac{1}{2}\big)^2}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ (<0)
$\tan\beta=\frac{\sin\beta}{\cos\beta}=\sqrt{3}$
$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$
$=\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}=\frac{(1+\sqrt{3})^2}{1-3}=\frac{4+ 2\sqrt{3}}{-2}=-2-\sqrt{3}$ ---（答）
$\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}$
$=\frac{1-\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}=\frac{(1-\sqrt{3})^2}{1-3}=\frac{4-2\sqrt{3}}{-2}=-2+\sqrt{3}$ ---（答）
→解答を隠す←

【昔からよくある問題】
　α=18°とすると，5α=90°すなわち2α+3α=90°となることを利用して，sin18°, cos18°を求めることができる．
　上記の18°の三角関数が分かっている場合は，その値を使って2倍角36°の三角関数も求められるが，それとは独立な問題としてsin36°, cos36°を求める問題も出せる．すなわち，β=36°とすると，5β=180°すなわち2β+3β=180°となることを利用して，sin36°, cos36°を求めることができる．
　72°についても同様

【問題6】
　α=18°とすると，5α=90°すなわち2α+3α=90°となることを利用して，sin18°, cos18°を求めてください．

解答を見る

　cos3α=cos(90°−2α)
　cos3α=sin2α
左辺は3倍角公式により，右辺は2倍角公式により変形する
　4cos3α−3cosα=2sinαcosα
cosα>0だから，両辺をこれで割ると
　4cos2α−3=2sinα
　4(1−sin2α)−3=2sinα
sinα=s(>0)とおくと
　4(1−s2)−3=2s
　4s2+2s−1=0
解の公式で解くと
　 $s=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{4}$
s>0だから
　 $\sin 18^{\circ}=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$
　 $\cos 18^{\circ}=\sqrt{1-\big(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\big)^2}=\frac{\sqrt{10+ 2\sqrt{5}}}{4}$
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【問題7】
　β=36°とすると，5β=180°すなわち2β+3β=180°となることを利用して，sin36°, cos36°を求めてください．

解答を見る

　cos3β=cos(180°−2β)
　cos3β=−cos2β
左辺は3倍角公式により，右辺は2倍角公式により変形する
　4cos3β−3cosβ=−(2cos2β−1)
　4cos3β+2cos2β−3cosβ−1=0
cosβ=c(>0)とおくと
　4c3+2c2−3c−1=0
c=−1のとき，左辺は0となるから，因数定理を用いて因数分解する
　(c+1)(4c2−2c−1)=0
c>0だから，第2因数を解の公式で解くと
　 $c=\frac{1\pm\sqrt{5}}{4}$
c>0だから
　 $\cos 36^{\circ}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$
　 $\sin 36^{\circ}=\sqrt{1-\big(\frac{1+\sqrt{5}}{4}\big)^2}=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}$

同様にして，γ=72°とすると，5γ=360°すなわち2γ+3γ=360°となることを利用して，sin72°, cos72°を求めることができる．ただし，これらの値は，問題4で得られた結果を入れ替えたもの：sin72°=cos18°, cos72°=sin18°に等しい
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