記数法，n進法（入試問題）

（解答）
　12021(3)を10進法で表すと
1×34+2×33+0×32+2×3+1=142
　次に，n進法で262(n)と表せる場合，各位の数はn−1以下だから，n≧7･･･(1)
2×n2+6×n+2=142
n2+3n−70=0
(n+10)(n−7)=0
(1)により，n=7･･･（答）
→解答を隠す←

【問題5】
　10進法で表された数61(10)を3進法で表すと(a)(3)である．

（2021年度明治薬科大）

［解答を見る］

（解答）
33=27
32=9
31=3
30=1
を使って，大きい方から順に取れるだけ取って行くと
61=2×27+0×9+2×3+1=2021(3)･･･（答）
（別解）
次のような縦書きの計算によって，余りを下から順に書くと3進法での表記になる．

$3\underline{)\hspace{7}61}$
$3\underline{)\hspace{7}20}\hspace{1}\cdots\hspace{1}1$
$3\underline{)\hspace{14}6}\hspace{1}\cdots\hspace{1}2$
$3\underline{)\hspace{14}2}\hspace{1}\cdots\hspace{1}0$
$\hspace{32}0\hspace{1}\cdots\hspace{1}2$

$\Rightarrow 2021_{(3)}$

→解答を隠す←

【問題6】
　3進法で表された3n桁けたの整数

3n桁
$\overbrace{\hspace{100}}$
$210210\hspace{0}\cdot\cdot\cdot\hspace{0}210_{(3)}$

がある(ただし，nは自然数とする). この数は，1≦k≦nを満たすすべての自然数kに対して，最小の位から数えて3k番目の位の数が2，3k−1番目の位の数が1，3k−2番目の位の数が0である．この数を10進法で表した数をanとおく．
(1)　a2=クである．
(2)　anをnの式で表すとケである．

（2021年度慶應義塾大.薬学部）

［解答を見る］

（解答）
(1)
$210210_{(3)}=2\times 3^5+ 1\times 3^4+ 2\times 3^2+ 1\times 3=588$ ･･･（答）
(2)
　初項 $210_{(3)}=2\times 3^2+ 1\times 3=21$ ，公比 $3^3=27$ ，項数nの等比数列の和になるから
$\frac{21(27^n-1)}{27-1}=\frac{21}{26}(27^n-1)$ ･･･（答）
→解答を隠す←

［7進法］

【問題7】
　7進法で表された数1515(7)を10進法で表すと345であり，10進法で表された数1515を7進法で表すと6789(7)である．

（2016年度青山学院大）

［解答を見る］

（解答）
345←
1515(7)=1×73+5×72+1×7+5=343+245+7+5
=600･･･（答）
6789(7)←

73=343
72=49
71=7
だから
1515=4×73+2×72+6×7+3=4263(7)･･･（答）

（別解）
　4×73+2×72+6×7+3=4263(7)について

4263(7)÷7=426(7)･･･3（3は余り）
426(7)÷7=42(7)･･･6（6は余り）
42(7)÷7=4(7)･･･2（2は余り）
4(7)÷7=0(7)･･･4（4は余り）

次のような縦書きの計算によって，余りを下から順に書くと7進法での表記になる．

$7\underline{)\hspace{7}1515}$
$7\underline{)\hspace{14}216}\hspace{1}\cdots\hspace{1}3$
$7\underline{)\hspace{21}30}\hspace{1}\cdots\hspace{1}6$
$7\underline{)\hspace{28}4}\hspace{1}\cdots\hspace{1}2$
$\hspace{42}0\hspace{1}\cdots\hspace{1}4$

$\Rightarrow 4263_{(7)}$

→解答を隠す←

［5進法.7進法］

【問題8】
　a, b, cは，いずれも1以上4以下の整数とする．自然数Nを5進法で表すと，abc(5)となり，7進法で表すと，cab(7)となるとき，Nを10進法で表せ．

（2016年度東京女子大）

［解答を見る］

（解答）
1≦a, b, c≦4は整数
　a×52+b×5+c=c×72+a×7+b
　25a+5b+c=49c+7a+b
　18a+4b=48c
　9a+2b=24c
ここで，2b=3(8c−3a)と変形すると，bは3の倍数で1≦b≦4だから，b=3
このとき，9a+6=24cより，3a+2=8c，3a=2(4c−1)と変形すると，aは2の倍数になる．，
ア）a=4のとき，12+2=8cとなる整数cは存在しない
イ）a=2のとき，6+2=cより，c=1
以上から，a=2, b=3, c=1･･･（答）

(別解）
　1≦a, b, c≦4
　9a+2b=24c
の後は，必要条件によって絞り込んでいく作業になり，途中経過は様々な形があり得る．例えば，次のように進めてもよい．
　11≦9a+2b≦44
　24c=24, 48, 72, 96
よって，c=1
このとき，9a+2b=24より
　2b=3(8−3a)
bは3の倍数で1≦b≦4だから，b=3
　9a+6=24よりa=2
以上から，a=2, b=3, c=1･･･（答）

→解答を隠す←

［n進法］

【問題9】
　nを4以上の自然数とする．数2, 12, 1331がすべてn進法で表記されているとして，212=1331が成り立っている．このときnはいくつか．十進法で答えよ．

（2016年度京都大.文系）

［解答を見る］

　「京都大学では，受験勉強として覚えてきたようなことがなるべく無駄になるような問題を出している」という話があって，その傾向は今も変わっていないように思う．覚えて来た公式に数字を入れたら，答が出るような問題は出さない．整数問題では「小実験から初めて，もがきながら，理屈をまとめる」という能力が求められていると考えたらよい

（解答）
n (≧4)進法で表記したものを10進法に直すと

12(n)=n+2
1331(n)=n3+3n2+3n+1=(n+1)3

与えられた条件は，次の形に書ける（10進法）

2n+2=n3+3n2+3n+1=(n+1)3

＜鉛筆遊びで傾向を調べる＞
n≧4の範囲では
ⅰ）n=4のとき，2n+2=64<125=(n+1)3
ⅱ）n=5のとき，2n+2=128<216=(n+1)3
ⅲ）n=6のとき，2n+2=256<343=(n+1)3

ⅳ）n=7のとき，2n+2=512=512=(n+1)3

ⅴ）n=8のとき，2n+2=1024>729=(n+1)3
ⅵ）n=9のとき，2n+2=2048>1000=(n+1)3
･･････
n=7が解であるが，他にないことの証明をどうするか．
　３次式(n+1)3はゆっくり増加し，指数関数2n+2は爆発的に増えるので，n>7の範囲には解がないはずであるが，それをどのように証明するか･･･帰納法，背理法，剰余類の利用が考えられる

→解答を隠す←

［解答を見る］

n≧4の範囲では
ⅰ）n=4のとき，2n+2=64<125=(n+1)3
ⅱ）n=5のとき，2n+2=128<216=(n+1)3
ⅲ）n=6のとき，2n+2=256<343=(n+1)3

ⅳ）n=7のとき，2n+2=512=512=(n+1)3
ここで，n≧8のとき，2n+2>(n+1)3となることを証明する．
(Ⅰ) n=8のとき，2n+2=1024>729=(n+1)3が成り立つ
(Ⅱ) n=k (k≧8)のとき，2k+2>(k+1)3が成り立つと仮定すると
n=k+1のとき，

(左辺)=2k+3=2×2k+2>2×(k+1)3
(右辺)=(k+2)3
2×(k+1)3−(k+2)3
=2×(k3+3k2+3k+1)−(k3+6k2+12k+8)
=k3−6k−6
=k(k2−6)−6
≧k(64−6)−6=58k−6>0 （∵k≧8）

(Ⅰ)(Ⅱ)より，n≧8のとき，2n+2>(n+1)3が成り立つ．
以上から，n=7が唯１つの解となる･･･（答） →解答を隠す←

...（PC版）メニューに戻る