【要点】
集合を表す方法には「外延的記法で表す方法」と「内包的記法で表す方法」がある．
外延的記法とは のように要素を書き並べる方法のことをいう．
内包的記法とは のように条件p(x)を満たす変数xの集まりとして書く方法のことをいう．
条件を幾つも使って のように書くことができるが， のようにカンマで区切って並べた場合は，and （かつ）の省略とする．or （または）の省略ではない． xが集合Aの要素であることは で表し，xが集合Aの要素でないことは で表す．

(1)
A={2n | n∈Z }, B={2n+1 | n∈Z }とするとき

A={..., −4, −2, 0, 2, 4, ...}
B={..., −3, −1, 1, 3, 5, ...}
だから
3∉A…（答）

(2)
A={2n+1 | n∈Z }, B={2n−1 | n∈Z }とするとき

n=..., −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...とすると
だから
A=B…（答）
（※n=0のときの値が１つずれているだけで全体としては同じものを表している）

(3)
A={2n+1 | n∈N }, B={2n−1 | n∈N }とするとき

n=1, 2, 3, ...とすると
だから
A⊂B…（答）

【要点】
「x∈Aならばx∈B」が成り立つときA⊂Bと書く．

すなわち，集合Aの任意の要素が必ずBの要素になるとき，A⊂Bと書く．

そこで，A⊂Bを証明するには，集合Aの任意の要素xを使って，その要素が必ずBの要素になることを示せばよい．
（※集合の包含関係を証明するために，要素を使う．）

A⊂BかつB⊂AのときA=Bと書く．

【例題１】
A={x | x=m+2n, m∈Z, n∈Z}
B={y | y=3m+4n, m∈Z, n∈Z}
とするときA=Bとなることを証明してください．

必ずしも上記の変形(*1)でなくてもx=3()+4()の形になっていればよい．
たとえば，x=3(3m+2n)+4(−2m−n)でもよい．

同様にして(*2)でなくてもy=(m+2n)+2(m+n)でもよい．

(1)
A={x | x=2m−3n, m∈Z, n∈Z}
B={y | y=4m−5n, m∈Z, n∈Z}
とするとき

x∈Aのとき
x=2m−3n, m∈Z, n∈Zとなる整数m, nが存在する．
このとき
x=4(3m+2n)−5(2m+n)
と書けるから
3m+2n=k
2m+n=l
x=4k−5l, k∈Z, l∈Z
と書ける．すなわちx∈B
したがって，A⊂B


逆に，y∈Bのとき
y=4m−5n, m∈Z, n∈Zとなる整数m, nが存在する．
このとき
y=2(2m+n)−3(−n)
と書けるから
2m+n=k
−n=l
y=2k−3l
と書ける．すなわちy∈A
したがって，B⊂A

結局A=Bが示された．

(2)
A={x | x=m+2n, m∈Z, n∈Z}
B={y | y=2m+4n, m∈Z, n∈Z}
とするとき

y∈Bのとき
y=2m+4n, m∈Z, n∈Zとなる整数m, nが存在する．
このとき
y=(2m)+2(2n)
と書けるから
2m=k
2n=l
y=k+2l, k∈Z, l∈Z
と書ける．すなわちy∈A
したがって，B⊂A


逆に，m=n=1, x=m+2n∈Aのとき
Bは偶数の集合だから．x∈Bは証明できそうもない．このような場合は反例を１つ示せばよい．
m=n=1, x=1+2×1=3∉Bだから
A⊂Bは成り立たない

(3)
A={x | x=2m, m∈N}
B={y | y=3n, n∈N}
とするとき

A={2, 4, 6, 8, 10, 12, ...}
B={3, 6, 9, 12, 15, 18, ...}
共通部分だから
A∩B={6, 12, 18, ...} すなわち
A∩B={x | x=6k, k∈N}

(4)
A={x | x=2m+1, m∈Z}
B={y | y=3n+2, n∈Z}
とするとき

A={.., −1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ..}
B={.., −1, 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, ...}
共通部分だから
A∩B={..,　−1, 5, 11, 17, ...}={x | x=6n+5, n∈Z }

（きっちり解くには，不定方程式の解き方参照）

(1)
A={n | n=2m, m∈Z}
B={n | n=2m+1, m∈Z}
とするとき

x∈A, y∈Bならば
x=2m, y=2n+1 (m, n∈Z)とおける
このとき
x+y=2m+2n+1=2(m+n)+1∈B
xy=2m(2n+1)=2(2mn+m)∈A…（答）
x−y=2m−(2n+1)=2(m−n−1)+1∈B
\( \dfrac{x}{y} \)は整数とは限らない

(2)
A={3n+1 | n∈Z}
B={3n+2 | n∈Z}
とするとき

x∈Aならば
x=3n+1
x2=(3n+1)2=3(3n2+2n)+1∈A
x∈Bならば
x=3n+2
x2=(3n+2)2=3(3n2+4n+1)+1∈A
x3=(3n+2)3=3(9n3+18n2+12n+2)+2∈B
したがって，x∈Bならばx2∈A…（答）

(3)
\( A=\{x\hspace{3px}\mid\hspace{3px}x=k+\sqrt{2}\hspace{2px}l,\hspace{3px}k\in Z,\hspace{3px}l\in Z\} \)
\( B=\{y\hspace{3px}\mid\hspace{3px}y=m+\sqrt{3}\hspace{2px}n,\hspace{3px}m\in Z,\hspace{3px}n\in Z\} \)
とするとき

x=y
すなわち
\( k+\sqrt{2}l=m+\sqrt{3}n,\hspace{3px}(k,l,m,n\in Z) \)
ならば
k=m, l=n=0（詳しくは背理法で示す）
したがって，共通部分は整数：A∩B=Z…（答）

問題１の（１）正解は３∉Ａのはずですが、それをクリックしてもＸマークが出てしまうようです。
＝＞［作者］：連絡ありがとう．そうでないことはない･･･と言っているうちにややこしくなっていたようです．訂正しました．