領域における最大最小（入試問題）

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== 領域における最大最小（入試問題） == 難易度の目安

基　本：★☆☆

普　通：★★☆

やや難：★★★

→ スマホ用は別頁

【領域における最大・最小問題】
• 高校数学で扱う「領域における最大・最小問題」は，下記の例題１のように「領域がx, yの連立１次不等式で表され」「最大値・最小値を求めたい式がx, yの１次式で与えられる」ものが基本です．
　例えば，「x+yの最大値・最小値を求めなさい」という問題が与えられたとき，x+yという「式だけ」では図が対応しないが，x+y=kとおくと直線の「方程式」となって，グラフが描けます．
　このように，与えられた領域内でグラフを描いて，kの値が最大・最小となる点を探すというのが，この種の問題の解き方の流れです．

• 幾つか問題を解けばすぐ分かることですが「領域がx, yの連立１次不等式で表され」「最大値・最小値を求めたい式がx, yの１次式で与えられる」問題では，最大値・最小値は必ず多角形の頂点で求まります．
　一般に，n変数の連立不等式で定まる範囲内で，n変数で与えられる式の最大・最小を求める問題は「線形計画法の問題」と呼ばれ，解は領域を表す多角形の頂点から求まります．

【例題1】★☆☆

　x, yが3つの不等式 $y\underset{=}{\gt}-\frac{5}{3}x+ 5,\hspace{2}y\underset{=}{\gt}3x-9,$
$y\underset{=}{\lt}\frac{1}{5}x+ 5$ を満たすとする．このとき，x+yの最小値はアであり，最大値はイである．

（2016年度関西学院大経済学部他［一部引用］）

　条件を満たす領域は右図の水色で示した部分（内部および周上）
　交点の座標は２つずつ選んだ連立方程式の解として求められ，A(0, 5), B(3, 0),
C(5, 6)となる．
• x+y=kすなわち，y=−x+kとおくと，傾きが−1の直線になるから，右図で赤線で示したように
　点B(3, 0)において最小値3+0=3をとる．
　点C(5, 6)において最大値5+6=11をとる．･･･（答）

（雑談のようで雑談ではない話）･･･本気の授業
　上の答案でx+y=kの直線が通っていると言っても，最大値となる点はCの１つしかない．最小値の方も同様にBが１つだけ．･･･こんな頼りない話でよいのか？と思うかもしれませんが，この点に目を向けると，領域内の最大最小問題に鋭く切り込んでいける．

--図1--

--図2--

　例えば，図1の点A(0, 5)を通るとき，x+y=0+5=5となって，最大値11と最小値3の間の１つの値となっている．ところが，点A(0, 5)を通るx+y=5となる点は，この領域の中に沢山ある（外赤.中黄で示した）．(1, 4), (2, 3), (3, 2), ...などどの点で調べてもx+y=5となる．
　実は，この問題で領域の内部は無くても結果に影響しない･･･図2のように，B-A, A-Cの「線だけ，皮だけ」の部分でも「最大値11，最小値3，およびその間のすべての値」はとり得ることに注意．
　このように「ある値がとり得るか？」という問題に対しては，点が１つあれば十分

【問題1】★☆☆
　次の連立不等式

3x+2y≧12, 2x+3y≦18, x−y≦4

をみたすx, yの値に対して，x+yのとる値の最大値はコ，最小値はサである．

（2005年度東洋大工学部）

［解説を読む］

　条件を満たす領域は，右図の水色で示した部分（内部および周上）
　x+y=k
すなわち
　y=−x+k
とおくと，傾きが−1の直線になる．
3x+2y=12の傾き $-\frac{3}{2}$
2x+3y=18の傾き $-\frac{2}{3}$
と比較すると，傾き−1は，右下がりで， $-\frac{3}{2}$ よりはゆるい傾斜で， $-\frac{2}{3}$ よりは急な傾斜になっている．　だから，k=x+yは，点(4, 0)で最小値4，点(6, 2)で最大値8をとる･･･（答） →解説を隠す←

• 下記の例題2のように「領域がx, yの連立１次不等式で表されるが」「最大値・最小値を求めたい式がx, yの２次式などで与えられる」ときには
(1) $x^2+ y^2$ の最大値・最小値

⇒ $x^2+ y^2=k$ とおく．原点からの距離［の２乗］の大きい所・小さい所を探せばよい

(2) $xy$ の最大値・最小値

⇒ $xy=k$ とおく．直角双曲線（中学１年生で習う反比例のグラフ）でkの値が最大・最小となる点を探せばよい．

【例題2】★★☆
　実数x, yが3つの不等式
　　x−2y−1≦0, 2x+y−2≦0, 4x−3y+6≧0
を満たすとき，x2+y2の最大値，最小値を求めよ．

　条件を満たす領域は右図の水色で示した部分（内部および周上）

• x−2y−1=0と2x+y−2=0の交点は(1, 0)
• 2x+y−2=0と4x−3y+6=の交点は(0, 2)
• 4x−3y+6=0とx−2y−1=0の交点は(−3, −2)

　x2+y2は原点からの距離（の２乗）だから，
• 原点(0, 0)において最小値0をとる
• 点(−3, −2)において，最大値13をとる･･･（答）

【問題2】★☆☆

　x, yが3つの不等式 $y\underset{=}{\gt}-\frac{5}{3}x+ 5,\hspace{2}y\underset{=}{\gt}3x-9,$
$y\underset{=}{\lt}\frac{1}{5}x+ 5$ を満たすとする． $x^2+ y^2$ の最小値はウであり，そのときのx, yの値はx=エ，y=オである．

（2016年度関西学院大経済学部他［一部引用］）

［解説を読む］

　条件を満たす領域は右図の水色で示した部分（内部および周上）
　 $x^2+ y^2=k$ とおくと，kは原点(0, 0)からの距離の２乗を表す．
　この距離が最小となる点Dは，点と直線の距離の公式を用いて求められる．

• 原点(0, 0)から直線5x+3y−15=0に引いた垂線の長さは $\frac{15}{\sqrt{5^2+ 3^2}}=\frac{15}{\sqrt{34}}$

点 $(x_0,\hspace{2}y_0)$ から直線 $ax+ by+ c=0$ に引いた垂線の長さは
$d=\frac{|ax_0+ by_0+ c|}{\sqrt{a^2+ b^2}}$

最小値は $\frac{225}{34}$ ･･･（答）

直線5x+3y−15=0と円直線x2+y2=kが接する条件を判別式で求める場合は
$x^2+ (-\frac{5}{3}x+ 5)^2=k$
$9x^2+ 25(x-3)^2=9k$
$34x^2-150x+(225-9k)=0$
について判別式をDとおくと
$D\apos=75^2-34\times(225-9k)=0$
$25^2\times 9-34\times(25\times 9-9k)=0$
$25^2-34\times(25-k)=0$
$k=\frac{225}{34}$

• x, yの値は， $y=-\frac{5}{3}x+ 5$ と，原点を通りこれに垂直な直線 $y=\frac{3}{3}x$ の交点であるから､連立方程式

$y=-\frac{5}{3}x+ 5$
$y=\frac{3}{3}x$
を解くと得られる． $x=\frac{75}{34},\hspace{2}y=\frac{45}{34}$ ･･･（答） →解説を隠す←

【問題3】★☆☆
　xy平面上の点A, B, Cの座標は，それぞれ (1, 1), (3, 1), (2, 3)である．三角形ABCの内部および境界で与えられる領域をDとする．以下の問いに答えよ．
(1) 領域Dを図示し，不等式を用いて表せ．
(2) 点(x, y)が領域D内を動くとき，4x+yの最大値と最小値を求めよ．
(3) 点(x, y)が領域D内を動くとき， $\sqrt{x^2+ y^2}$ の最大値と最小値を求めよ．

（2021年度長崎大情報データ科学部）

［解説を読む］

(1)
右図の青色で示した斜線部の内部および境界線上
(2)
　　4x+y=k
すなわち
　　y=−4x+k
とおくと，傾きが−4の直線（赤で示した直線）になる．

　そのうちで，点A(1, 1)を通るとき，最小値4x+y=5をとり，点B(3, 1)を通るとき，最大値4x+y=13をとる．
(3)

$\sqrt{x^2+ y^2}=k$ とおくと，kは原点からの距離を表すから，点A(1, 1)を通るとき，最小値 $\sqrt{2}$ をとり，点C(2, 3)を通るとき， $\sqrt{13}$ をとる．
→解説を隠す←

【問題4】★☆☆
　連立不等式y≦x−2, y≧2x−8, y≧0を満たす領域の点(x, y)についてx2+(y−4)2の最小値と最大値，およびそれらを与える(x, y)の値を求めよ．

（2021年度三重大教育学部）

［解説を読む］

　連立不等式の表す領域は，右図の水色で示した箇所
　x2+(y−4)2=kとおくと，kは
点(0, 4)からの距離の２乗を表す．
　右図の点Pは，点A(0, 4)を中心とする円と直線y=x−2すなわちx−y−2=0が接する場合の接点で
$AP=\frac{|0-4-2|}{\sqrt{1^2+ (-1)^2}}=3\sqrt{2}$
k=AP2=18･･･（最小値：答）
　右図の点Qは，２直線y=x−2, y=2x−8の交点(6, 4)で
k=AQ2=62=36
　右図の点Rは２直線y=2x−8, y=0の交点(4, 0)で
$k=AR^2=4^2+ 4^2=32$
AQ>ARだから，最大値はk=AQ2=62=36･･･（答）
→解説を隠す←

【問題5】★★☆
　実数x, yが3つの不等式
　　y≦2x, y≦−2x+4, y≧0
を満たすとき，x2+y2−4x+2yの最大値，最小値を求めよ．

［解説を読む］

　条件を満たす領域は右図の水色で示した部分（内部および周上）
　x2+y2−4x+2y=kとおくと
(x−2)2+(y+1)2=k+5だから，kは点(2, −1)からの距離の２乗（+5）
• 点(2, 0)において最小値−4をとる
• 点(1, 2)において，最大値5をとる･･･（答）
→解説を隠す←

【問題6】★★☆
　実数x, yが3つの不等式
　　y≦2, x+y≧2, x≦2

を満たすとき， $\frac{y+ 1}{x+ 2}$ がとる値の範囲を求めよ．

［解説を読む］

　条件を満たす領域は右図の水色で示した部分（内部および周上）
$\frac{y+ 1}{x+ 2}=k$
すなわち
$y+ 1=k(x+ 2)$
とおくと，kは，点(−2, −1)を通る直線の傾き
• 点(2, 0)において最小値 $\frac{1}{4}$ をとる
• 点(0, 2)において最大値 $\frac{3}{2}$ をとる
$\frac{1}{4}\underset{=}{\lt}k=\frac{y+ 1}{x+ 2}\underset{=}{\lt}\frac{3}{2}$ ･･･（答） →解説を隠す←

【問題7】★★☆
　実数x, yが3つの不等式
　　y≦3x−2, 2y≧x+1, y≦−2x+8

を満たすとき， $\frac{y}{x^2}$ がとる値の範囲を求めよ．

［解説を読む］

　条件を満たす領域は右図の水色で示した部分（内部および周上）

• y=3x−2と2y=x+1の交点は(1, 1)
• y=3x−2とy=−2x+8の交点は(2, 4)
• 2y=x+1とy=−2x+8の交点は(3, 2)

$\frac{y}{x^2}=k$
すなわち
$y=kx^2$
とおくと，kの値は
• 点(3, 2)において，最小値 $\frac{2}{9}$ をとる．
• y=3x−2とy=kx2が接するとき，最大値をとる．

このとき
3x−2=kx2 (k≠0)
kx2−3x+2=0 (k≠0)
D=9−8k=0
$k=\frac{9}{8}$

このときの接点が，実際に直線y=3x−2上にあって，２点(1, 1), (2, 4)の間にあることは，次のように示せる．

$k=\frac{9}{8}$ のとき
kx2−3x+2=0は
$\frac{9}{8}x^2-3x+ 2=0$
9x2−24x+16=0となり
(3x−4)2=0を解くと
$x=\frac{4}{3}$ （重解）
このとき，y=3x−2=2
$1\lt\frac{4}{3}\lt 2$
だから，実際に直線y=3x−2上にあって，２点(1, 1), (2, 4)の間にある

以上から， $\frac{2}{9}\underset{=}{\lt}k=\frac{y}{x^2}\underset{=}{\lt}\frac{9}{8}$ ･･･（答）
→解説を隠す←

【問題8】★★☆

　連立不等式 $2x-y-2\underset{=}{\gt}0,\hspace{2}x\underset{=}{\lt}\frac{5}{2},\hspace{2}y\underset{=}{\gt}1$ の表す領域をDとする．点P(x, y)が領域Dを動くとき, $\frac{y}{x^2}$ の最大値と最小値を求めよ．また，それぞれの値を与える点Pの座標を求めよ．

（2016年度学習院大経済学部）

［解説を読む］

　条件を満たす領域は右図の水色で示した部分（内部および周上）
　 $\frac{y}{x^2}=k$
すなわち
$y=kx^2$
とおくと，kの値は

• 点 $C(\frac{5}{2},\hspace{2}1)$ において，最小値 $\frac{1}{(\frac{5}{2})^2}=\frac{4}{25}$ をとる．
• y=2x−2とy=kx2が接するとき，最大値をとる．

このとき
2x−2=kx2 (k≠0)
kx2−2x+2=0
D’=1−2k=0
$k=\frac{1}{2}$

このときの接点Pが，実際に直線y=2x−2上にあって，２点 $A(\frac{5}{2},\hspace{2}3),\hspace{2}B(\frac{3}{2},\hspace{2}1)$ の間にあることは，次のように示せる．

$k=\frac{1}{2}$ のとき
kx2−2x+2=0は
$\frac{1}{2}x^2-2x+ 2=0$
x2−4x+4=0となり
(x−2)2=0を解くと
x=2（重解）
このとき，y=2x−2=2
$\frac{3}{2}\lt 2\lt\frac{5}{2}$
だから，実際に直線y=2x−2上にあって，２点 $A(\frac{5}{2},\hspace{2}3),\hspace{2}B(\frac{3}{2},\hspace{2}1)$ の間にある

以上から，点P(2, 2)において最大値 $\frac{1}{2}$ をとる･･･（答） →解説を隠す←

【問題9】★★☆
　点(x, y)がx≧0, y≧0, 3≧x+y≧1を満たすとき，xy+2x+yの最大値と最小値を求めよ．

［解説を読む］

　条件を満たす領域は右図の水色で示した部分（内部および周上）
　xy+2x+y=k
とおくと
　(x+1)(y+2)=k+2
$y+ 2=\frac{k+ 2}{x+ 1}$
$y=\frac{k+ 2}{x+ 1}-2$
は，漸近線の方程式がx=−1, y=−2となる直角双曲線で
k+2の値，したがってkの値は，
(0, 1)のとき最小値1をとる．
(2, 1)のとき最大値7をとる．･･･（答）
→解説を隠す←

【問題10】★☆☆
　x, yが不等式x≧0, y≧0, 2x+3y≦18, x+3y≦15を同時に満たすとき，次の(1)～(3)に答えよ．
(1)(2)　略
(3) xyの最大値を求めよ．

（2005年度福井県立大）

［解説を読む］

条件を満たす領域は,右図の水色で示した部分（内部および周上）
この領域内において，xy=kすなわち
$y=\frac{k}{x}$
のグラフを考える．
　xy=kと2x+3y=18が接するようなkの値を求める．
$2x+ 3\frac{k}{x}=18$
$2x^2-18x+ 3k=0$
$D\apos=81-6k=0$
$k=\frac{27}{2}$

$k=\frac{27}{2}$ のとき，上記の領域内で実際に接することは，次のように確かめられる．
$2x^2-18x+ 3\times\frac{27}{2}=0$
$4x^2-36x+ 81=0$
$(2x-9)^2=0$
$x=\frac{9}{2}$ （重解）

$3\lt\frac{9}{2}\lt 9$ だから， (3, 4)と(9, 0)の間で直線2x+3y=18と接する．

xyの最大値は $\frac{27}{2}$ ･･･（答） →解説を隠す←

• 下記の問題11のように，領域の境界線が２次曲線（円・放物線・双曲線など）で表されているときは，最大・最小となる点を求めるために，「判別式＝0」の関係がよく使われます．

【問題11】★☆☆
　実数x, yがx2+y2≦2を満たすとき，5x+yの最大値および最小値を求めなさい．

（2016年度福島大人文社会学部）

［解説を読む］

　条件を満たす領域は右図の水色で示した部分（内部および周上）
　5x+y=kすなわちy=−5x+kとおくと，傾きが−5の直線を表す．
　右図の領域の中で，kの値は，円と直線が接するときに最大および最小となる．

x2+y2=2
y=−5x+k
　この連立方程式から，yを消去して，xの２次方程式の判別式を求める．

x2+(−5x+k)2=2
26x2−10kx+(k2−2)=0
$D\apos=25k^2-26(k^2-2)=0$
$k^2=52$
$k=\pm\sqrt{52}=\pm 2\sqrt{13}$

最大値 $2\sqrt{13}$ ，最小値 $-2\sqrt{13}$ ･･･（答） →解説を隠す←

【問題12】★☆☆
　

連立不等式

x2+y2≦1
y≧x2−1

の表す領域をDとおく．

(1) 領域Dの概形を図示せよ．
(2) 直線y=k(x+2)−2とDが共有点をもつときの直線の傾きkのとりうる値の範囲を求めよ．

（2016年度東北大経済学部［後期］）

［解説を読む］

(1)
　右図の右図の水色で示した部分（内部および周上）
　なお，２つの曲線は(±1, 0), (0, −1)の３点を共有点とするが，
−1<x<0, 0<x<1の区間で $y=x^2-1$ の方が $x^2+ y^2=1$ の下半円よりも上側にあることは，次のようにして示せる．

（根拠1）
　 $y=x^2-1$ のグラフは，x=1において右上がり（増加）になる．これに対して， $x^2+ y^2=1$ のグラフはx=1においてx軸に垂直になる．だから，x=1において $x^2+ y^2=1$ は $y=x^2-1$ を下から上に突き抜ける．
（根拠2）
0<x<1のとき
$0\lt x^2\lt x\lt 1$
$0\lt 1-x^2\lt \sqrt{1-x^2}\lt 1$
$-1\lt-\sqrt{1-x^2}\lt -(1-x^2)\lt 0$
だから
$-1\lt y_1=-\sqrt{1-x^2}\lt y_2=-(1-x^2)\lt 0$

(2)
y=k(x+2)−2は点(−2, −2)を通り，傾きkの直線だから，kのとりうる値の範囲は，右図のような２つの接線から求められる．
ア）y=k(x+2)−2とx2+y2=1の上半円が接する場合：最大値M
kx−y+(2k−2)=0と原点(0, 0)との距離が1になること
$d=\frac{|2k-2|}{\sqrt{k^2+ 1}}=1$
$4k^2-8k+ 4=k^1+ 1$
$3k^2-8k+ 3=0$
$k=\frac{4\pm\sqrt{7}}{3}$
このうちで大きい方が上半円との接点の傾きを表すから
$M=\frac{4+\sqrt{7}}{3}$
イ）y=k(x+2)−2とy=x2−1が接する場合：最小値m
x2−1=k(x+2)−2
x2−kx+(1−2k)=0
$D=k^2-4(1-2k)=0$
$k^2+ 8k-4=0$
$k=-4\pm\sqrt{20}=-4\pm 2\sqrt{5}$
図から考えて，符号が正の方を選ぶと
$m=-4\pm\sqrt{20}=-4+ 2\sqrt{5}$

以上から， $-4+ 2\sqrt{5}\underset{=}{\lt}k\underset{=}{\lt}\frac{4+\sqrt{7}}{3}$ ･･･（答） →解説を隠す←

【問題13】★★☆
　xy平面上で，連立不等式
y≧0, x+y≦4, 3x+y≦6, y−2x≦6
が表す領域をDとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)　領域Dを図示せよ．
(2)　点(x, y)が領域D上の点全体を動くとき，x+2yの最大値とそのときのx, yの値を求めよ．また，x+2yの最小値とそのときのx, yの値を求めよ．
(3)　点(x, y)が領域D上の点全体を動くとき，3x2−2yの最大値とそのときのx, yの値を求めよ．また，3x2−2yの最小値とそのときのx, yの値を求めよ．

（2021年度同志社大文学部・経済学部）

［解説を読む］

(1) 右図の水色で示した部分
（内部および周上）
(2)
x+2y=kとおくと， $y=-\frac{1}{2}x+\frac{k}{2}$ は傾きが $-\frac{1}{2}$ の直線だから，Mで示した点 $(-\frac{2}{3},\hspace{2}\frac{14}{3})$ で最大値 $-\frac{2}{3}+ 2\times\frac{14}{3}=\frac{26}{3}$ をとる．
　また,mで示した点(−3, 0)で最小値−3をとる．
(3)

3x2−2y=kとおくと， $y=\frac{3}{2}x^2-\frac{k}{2}$ は， $y=\frac{3}{2}x^2$ のグラフを上下に移動したもので，
• 点(−3, 0)で最大値k=3x2−2y=27をとる
• 直線x+y=4と3x2−2y=kが接するとき，最小値をとる．

判別式を使って，接するときのk, x, yの値を求める
　3x2−2(4−x)=k
　3x2+2x−(8+k)=0
　D’=1+3(8+k)=0
　3k=−25
　 $k=-\frac{25}{3}$
このとき
　 $3x^2+ 2x-(8-\frac{25}{3})=0$
　9x2+6x+1=0
　(3x+1)2=0
　 $x=-\frac{1}{3}$
　 $y=4-x=\frac{13}{3}$

よって， $(-\frac{1}{3},\hspace{2}\frac{13}{3})$ のとき，最小値 $-\frac{25}{3}$ をとる
→解説を隠す←

【問題14】★★★
(1) 座標平面上の点(x, y)と点(a, b)を結ぶ線分の傾きを求めよ．ただし，x≠aとする．
(2) 次の連立不等式の表す領域Dを図示せよ．
x2+y2≦1, y≧x2−1
(3) (2)の領域D内の点(x, y)に対して $\frac{4y-7}{x-3}$ が最大となる(x, y)を求めよ．

（2011年度津田塾大学芸学部数学科）

［解説を読む］

(1)
$\frac{y-b}{x-a}$
(2)
右図の水色で示した部分（内部および周上）
(3)

「 $\frac{y-7}{x-3}$ が最大となる(x, y)を求めよ」という問題であれば，(1)を利用して解く問題だと分かるが，4yとなっているから，「ひねり」が入っていて難しい！･･･さすがに数学科！

$\frac{4y-7}{x-3}=4\times\frac{y-\frac{7}{4}}{x-3}$
と変形できるから，領域Dにおいて，点 $(3,\hspace{2}\frac{7}{4})$ を通る直線で傾きが最大となるものを探せばよい．

(解法1)･･･微分を習っている場合
接点の座標を(p, p2−1)とおいて，接線が点 $(3,\hspace{2}\frac{7}{4})$ を通るようなpの値を求めるとよい．

y=x2−1
y’=2x

だから，(p, p2−1)における接線の方程式は

y−(p2−1)=2p(x−p)

この接線が点 $(3,\hspace{2}\frac{7}{4})$ を通るためには

$\frac{7}{4}-(p^2-1)=2p(3-p)$
$7-4p^2+ 4=8p(3-p)$
$4p^2-24p+ 11=0$
$(2p-1)(2p-11)=0$
（※黄色で示した接線は，領域Dを通らない）
$p=\frac{1}{2}$
このとき， $p^2-1=-\frac{3}{4}$
$(\frac{1}{2},\hspace{2}-\frac{3}{4})$ ･･･（答）

(解法2)･･･接する条件を判別式で求める場合

$y-\frac{7}{4}=m(x-3)$
$y=x^2-1$
が接するようにmの値を定める．

yを消去する
$x^2-1-\frac{7}{4}=m(x-3)$
$4x^2-4-7=4m(x-3)$
$4x^2-4mx+(12m-11)=0$
判別式を求める
$D\apos=4m^2-4(12m-11)=0$
$m^2-12m+ 11=0$
$(m-1)(m-11)=0$
小さい方を選んで
m=1

このときの接点(x, y)を求める

$4x^2-4x+ 1=0$
$(2x-1)^2=0$
$x=\frac{1}{2}$
$y=x^2-1=-\frac{3}{4}$
$(\frac{1}{2},\hspace{2}-\frac{3}{4})$ ･･･（答）

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【問題15】★☆☆
　薬品AとBを合成して製品XとYを作る．Xを1トン作るにはAが2トンとBが3トン，Yを1トン作るにはAが3トンとBが1トン必要である．また，1日に使用できる薬品A, Bの量は，それぞれ18トン，13トンであり，XとYの1日の最大生産量は，4トンと5トンである．さらに，XとYの1トンあたりの価格は，30万円と50万円であるとし，1日にそれぞれxトンとyトン生産するものとする．
(1)　上記の条件をxとyの連立不等式として表せ．
(2)　(1)の領域を図示せよ．
(3)　1日に生産される製品XとYの合計金額をSとするとき，Sをxとyで表せ．
(4)　Sの最大値とそのときのXとYの生産量を求めよ．

（2000年度立教大社会学部）

［解説を読む］

(1)

2x+3y≦18
3x+y≦13
0≦x≦4
0≦y≦5
(2)
右図の黄色で示した部分（内部および周上）
(3)
　S=30x+50y
(4)

S=30x+50yの傾きは $-\frac{3}{5}(=-0.6)$
この傾きは， $-\frac{2}{3}(=-0.666..)$ よりも緩いので
与えられた領域の内部（および周上）でS=30x+50yの直線を描くと，赤丸

で示した $(\frac{2}{3},5)$ でSが最大となる．
このとき， $S=30\times\frac{3}{2}+ 50\times 5=45+ 250=295$
　Sの最大値は295（万円），そのとき $X=\frac{2}{3}$ トン， $Y=5$ トン･･･（答）

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【問題16】★☆☆
　薬品A，Bがある．A，B各1gについて，P成分，Q成分，R成分の含有量と価格は，それぞれ下の表の通りである．1日当たりP成分を0.9mg以上，Q成分を1.2mg以上，R成分を8mg以上摂取する必要があるとする．これらを製品A，Bによってとるとき，1日あたりの費用を最小にするには，A，Bをそれぞれg，gずつとればよい．このときの費用は円である．

	P成分	Q成分	R成分	価格
薬品A	3mg	1mg	5mg	35円
薬品B	1mg	2mg	15mg	20円

（2000年度日本大薬学部）

［解説を読む］

薬品A，BをそれぞれA，Bgとるとすれば

3A+B≧0.9→傾き−3
A+2B≧1.2→傾き−0.5
5A+15B≧8
0≦A, B

　これを満たす領域は，右図の黄色で示した箇所の内部および周上
　1日あたりの費用をk円とすると
　　k=35A+20B
→傾き $m=-\frac{35}{20}=-1.75$
　ここで，傾きは

だから，領域内を通る直線k=35A+20Bでkが最小となるのは，赤丸で示した点
　3A+B=0.9, A+2B=1.2の交点の座標はA=0.12(g), B=0.54(g)･･･（答）
　このとき，最小値はk=35A+20B=15（円）･･･（答） →解説を隠す←

【問題17】★☆☆
　二種類の食品Ａ，Ｂの100g当たりの栄養素含有率は下表の通りである．

	糖　質	蛋白質	脂　質
ＡＢ	20g 10g	5g 10g	3g 3g

　食品ＡとＢを組み合せて糖質を40g以上，蛋白質を20g以上とる必要がある．一方，脂質摂取量は最小に押さえたい．このような条件下で脂質は何グラムとることになるか．

（2000年度自治医大）

［解説を読む］

　Ａ，Ｂを各々a, b(g)とるとすると

0.2a+0.1b≧40 → 2a+b≧400･･･(1)
0.05a+0.1b≧20 → 5a+10b≧2000･･･(2)
0≦a, b

すなわち

2a+b≧400
a+2b≧400
0≦a, b
脂質がc(g)になるとすると
　c=0.03a+0.03b
　右図の赤丸で示した点の座標は $(\frac{400}{3},\hspace{2}\frac{400}{3})$ だから
$c\underset{=}{\gt}0.03\times\frac{400}{3}+0.03\times\frac{400}{3}=8$
　最小値8(g)･･･（答）

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