センター試験.数Ⅱ･B-指数.対数関数(2013～)

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== センター試験.数Ⅱ･B-指数.対数関数(2013～) ==

【2013年度センター試験.数学Ⅱ･B】第1問[2]（必答問題）

　連立方程式

(＊)

$x+ y+ z=3$
$2^x+ 2^y+ 2^z=\frac{35}{2}$
$\frac{1}{2^x}+\frac{1}{2^y}+\frac{1}{2^z}=\frac{49}{16}$

を満たす実数x, y, zを求めよう。ただし，x≦y≦zとする。

　 $X=2^x,\hspace{3}Y=2^y,\hspace{3}Z=2^z$ とおくと，x≦y≦zによりX≦Y≦Zである。(＊)から，X, Y, Zの関係式

$XYZ=$ ソ
$X+ Y+ Z=\frac{35}{2}$

$XY+ YZ+ ZX=$

タチ

ツ

が得られる。

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解説を読む

【指数と対数の関係】
$p=\log_aM\Longleftrightarrow a^p=M$

ただし，a>0, a≠1, M>0

$X=2^x,\hspace{3}Y=2^y,\hspace{3}Z=2^z$ だから
$XYZ=2^x\times 2^y\times 2^z$
$=2^{x+ y+ z}=2^3=8$ →ソ

$2^x+ 2^y+ 2^z=\frac{35}{2}$ だから
$X+ Y+ Z=\frac{35}{2}$

$\frac{1}{X}+\frac{1}{Y}+\frac{1}{Z}=\frac{49}{16}$ だから
$\frac{XY+ YZ+ ZX}{XYZ}=\frac{49}{16}$
$XY+ YZ+ ZX=\frac{49}{16}XYZ=\frac{49}{2}$ →タチツ
→解説を隠す←

　この関係式を利用すると,tの3次式(t−X)(t−Y)(t−Z)は
$(t-X)(t-Y)(t-Z)=t^3-(X+ Y+ Z)t^2+(XY+ YZ+ ZX)t-XYZ$

$=t^3-\frac{35}{2}t^2+$

タチ

ツ

$t-$ ソ

$=(t-\frac{1}{2})(t-$ テ $)(t-$ トナ $)$
となる。したがって，X≦Y≦Zにより
$X=\frac{1}{2},\hspace{3}Y=$ テ， $Z=$ トナ
となり， $x=\log$ ニ $X,\hspace{2}y=\log$ ニ $Y,\hspace{2}z=\log$ ニ $Z$ から
x=ヌネ，y=ノ，z=ハ
であることがわかる。

解説を読む

$(t-X)(t-Y)(t-Z)=t^3-\frac{35}{2}t^2+\frac{49}{2}t-8$
$=(t-\frac{1}{2})(t^2-17t+ 16)$
$=(t-\frac{1}{2})(t-1)(t-16)$ →テ,トナ

$X=\frac{1}{2},\hspace{3}Y=1,\hspace{3}Z=16$ により
$x=\log_2X,\hspace{2}y=\log_2Y,\hspace{2}z=\log_2Z$ →ニ
$x=\log_2X=\log_2(\frac{1}{2})=-1$ →ヌネ
$y=\log_2Y=\log_21=0$ →ノ
$z=\log_2Z=\log_216=4$ →ハ

♪∀～勝手に批評～個人の感想～∅♥
　教科書レベルの基本問題であり，確実に得点すべき問題です．

→解説を隠す←

【2014年度センター試験.数学Ⅱ･B】第1問[2]（必答問題）

　自然数m, nに対して，不等式
$\log_2m^3+ \log_3n^2\underset{=}{\lt}3$ ･･･④
を考える。

　m=2, n=1のとき， $\log_2m^3+ \log_3n^2=$ ソであり，このm, nの組は④を満たす。
　m=4, n=3のとき， $\log_2m^3+ \log_3n^2=$ タであり，このm, nの組は④を満たさない。

　不等式④を満たす自然数m, nの組の個数を調べよう。④は

$\log_2m+$

チ

ツ

$\log_3n\underset{=}{\lt}$ テ･･･⑤

と変形できる。
　nが自然数のとき， $\log_3n$ のとり得る最小の値はトであるから，⑤により， $\log_2m\underset{=}{\lt}$ テでなければならない。 $\log_2m\underset{=}{\lt}$ テにより，m=ナまたはm=ニでなければならない。ただし，ナ<ニとする。

解説を読む

$\log_22^3+\log_31^2=3\log_22+ 2\log_31=3+ 0=3$ →ソ
$\log_24^3+\log_33^2=3\log_24+ 2\log_33=6+ 2=8$ →タ

$3\log_2m+ 2\log_3n\underset{=}{\lt}3$
$\log_2m+\frac{2}{3}\log_3n\underset{=}{\lt}1$ →チ,ツ,テ

nが自然数のとき， $\log_3n\underset{=}{\gt}0$ →ト(等号はn=1のとき)

$\log_2m\underset{=}{\lt}1$ により
m=1またはm=2→ナ,ニ
→解説を隠す←

m=ナの場合，⑤は， $\log_3n\underset{=}{\lt}$

ヌ

ネ

となり，

n2≦ノハと変形できる。よって，m=ナのとき，⑤を満たす自然数nのとり得る値の範囲はn≦ヒである。したがって，m=ナの場合，④を満たす自然数m, nの組の個数はヒである。
　同様にして，m=ニの場合，④を満たす自然数m, nの組の個数はフである。
　以上のことから，④を満たす自然数m, nの組の個数はヘである。

解説を読む

m=1のとき，⑤は
$\log_21+\frac{2}{3}\log_3n\underset{=}{\lt}1$
$\frac{2}{3}\log_3n\underset{=}{\lt}1$
$\log_3n\underset{=}{\lt}\frac{3}{2}$ →ヌ,ネ
$2\log_3n\underset{=}{\lt}3$
$\log_3n^2\underset{=}{\lt}3$
$n^2\underset{=}{\lt}27$ →ノハ
$n\underset{=}{\lt}5$ →ヒ

m=2のとき，④は
$\log_22^3+ \log_3n^2\underset{=}{\lt}3$
$3\log_22+ \log_3n^2\underset{=}{\lt}3$
$\log_3n^2\underset{=}{\lt}0$
$n^2\underset{=}{\lt}1$
$n=1$ →1(組)→フ
以上から，5組と1組で6組→ヘ →解説を隠す←

【2016年度センター試験.数学Ⅱ･B】第1問[1]（必答問題）

(1)　 $8^{\frac{5}{6}}=$ ア $\sqrt{\hspace{30px;}}$ イ　， $\log_{27}{\hspace{2}}\frac{1}{9}=$

ウエ

オ

である。

(2) $y=2^x$ のグラフと $y=\big(\frac{1}{2}\big)^x$ のグラフはカである。
$y=2^x$ のグラフと $y=\log_2x$ のグラフはキである。
$y=\log_2x$ のグラフと $y=\log_{\frac{1}{2}}x$ のグラフはクである。

$y=\log_2x$ のグラフと $y=\log_2\hspace{1}\frac{\hspace{1}1\hspace{1}}{\hspace{1}x\hspace{1}}$ のグラフはケである。

　カ～ケに当てはまるものを，次の⓪～③のうちから一つずつ選べ。ただし,同じものを繰り返し選んでもよい。

⓪ 同じもの

① x軸に関して対称

② y軸に関して対称

③ 直線y=xに関して対称

解説を読む

(1)
$8^{\frac{5}{6}}=(2^3)^{\frac{5}{6}}=2^{\frac{5}{2}}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$ →ア,イ

【底の変換公式】
$\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}$

ただし，(a, b, c>0)かつ(a, c≠1)

$\log_{27}{\hspace{2}}\frac{1}{9}=\frac{\log_3\hspace{2}\frac{1}{9}}{\log_327}=\frac{\log_33^{-2}}{\log_33^3}$
$=\frac{-2\log_33}{3\log_33}=\frac{-2}{3}$ →ウエ,オ

(2)

《x軸に関して対称》
　　右図の⓪と①
《y軸に関して対称》
　　右図の⓪と②
《y=xの直線に関して対称》
　　右図の⓪と③
《原点に関して対称》
　　右図の⓪と④

$f(x)=2^x,\hspace{5}g(x)=\big(\frac{1}{2}\big)^x$ とおくと
$g(x)=2^{-x}=f(-x)$ だから
　　これらはy軸に関して対称:②→カ

$y=2^x$ は $x=\log_2y$ に等しい．これに「y=xの直線に関して対称」なグラフは， $y=\log_2x$
　　y=xの直線に関して対称:③→キ

$f(x)=\log_2x,\hspace{3}g(x)=\log_{\frac{1}{2}}x$ とおくと
$g(x)=\frac{\log_2x}{\log_2\hspace{2}\frac{1}{2}}=\frac{\log_2x}{-1}=-\log_2x=-f(x)$
だから，これらはx軸に関して対称:①→ク

$f(x)=\log_2x,\hspace{3}g(x)=\log_2\hspace{1}\frac{\hspace{1}1\hspace{1}}{\hspace{1}x\hspace{1}}$ とおくと
$g(x)=\log_2x^{-1}=-\log_2x=-f(x)$ だから
　　これらはx軸に関して対称:①→ケ
→解説を隠す←

(3)　x>0の範囲における関数 $y=\big(\log_2\hspace{1}\frac{\hspace{1}x\hspace{1}}{\hspace{1}4\hspace{1}}\big)^2-4\log_4x+ 3$ の最小値を求めよう。

　 $t=\log_2x$ とおく。このとき，y=t2−コt+サである。また，xがx>0の範囲を動くとき，tのとり得る値の範囲はシである。シに当てはまるものを，次の⓪～③のうちから一つ選べ。

⓪ t>0

① t>1

② t>0かつt≠1

③ 実数全体

　したがって，yはt=スのとき，すなわちx=セのとき，最小値ソタをとる。

解説を読む

$y=\big(\log_2\hspace{1}\frac{\hspace{1}x\hspace{1}}{\hspace{1}4\hspace{1}}\big)^2-4\log_4x+ 3$
$=(\log_2x-\log_24)^2-4\frac{\log_2x}{\log_24}+ 3$
$=(\log_2x-2)^2-4\frac{\log_2x}{2}+ 3$
$=(\log_2x-2)^2-2\log_2x+ 3$
$t=\log_2x\hspace{3}(x\gt 0)$ とおくと
$y=(t-2)^2-2t+ 3=t^2-6t+ 7$ (tは全実数)→コ,サ
tのとり得る値の範囲は，③実数全体→シ
$y=(t-3)^2-2$ と変形できるから
t=3すなわちx=8のとき，最小値−2をとる→ス,セ,ソ,タ
→解説を隠す←

【2017年度センター試験.数学Ⅱ･B】第1問[2]（必答問題）

　座標平面上に点 $\rm{A}(0,\hspace{2}\frac{3}{2})$ をとり，関数 $y=\log_2x$ のグラフ上に2点 $\rm{B}(p,\hspace{2}\log_2p),\hspace{4}\rm{C}(q,\hspace{2}\log_2q)$ をとる。線分ABを1:2に内分する点がCであるとき， p, qの値を求めよう。

　真数の条件により，p>タ，q>タである。ただし，対数 $\log_ab$ に対し，aを底といい，bを真数という。

　線分ABを1:2に内分する点の座標は，pを用いて

$\Big($

チ

ツ

テ

ト

$\log_2p+$ ナ $\Big)$

と表される。これがCの座標と一致するので

チ

ツ

p=q 　･･････④

テ

ト

$\log_2p+$ ナ $=\log_2q$ 　･･････⑤

が成り立つ。

解説を読む

真数条件よりp>0→タ

$\rm{A}(0,\hspace{2}\frac{3}{2}),\hspace{2}\rm{B}(p,\hspace{2}\log_2p)$ を1:2に内分する点の座標は
$=\big(\frac{2\times 0+ 1\times p}{1+ 2},\hspace{2}\frac{2\times \frac{3}{2}+ 1\times\log_2p}{1+ 2}\big)$
$=\big(\frac{1}{3}p,\hspace{2}\frac{1}{3}\log_2p+ 1\big)$ →チ,ツ,テ,ト,ナ
→解説を隠す←

　⑤は

ニ

ヌ

qネ　･･････⑥

と変形できる。④と⑥を連立させた方程式を解いて，p>タ，q>タに注意すると
p=ノ $\sqrt{\hspace{30px;}}$ ハ　，q=ヒ $\sqrt{\hspace{30px;}}$ フ　
である。

　また，Cのy座標 $\log_2\big($ ヒ $\sqrt{\hspace{30px;}}$ フ　 $\big)$ の値を，小数第2位を四捨五入して小数第1位まで求めると，ヘである。ヘに当てはまるものを，次の⓪～ⓑのうちから一つ選べ。ただし， $\log_{10}2=0.3010,\hspace{2}\log_{10}3=0.4771,$
$\log_{10}7=0.8451$ とする。

　⓪ 0.3　① 0.6　② 0.9　③ 1.3　④ 0.6　⑤ 1.9
　⑥ 2.3　⑦ 2.6　⑧ 2.9　⑨ 3.3　ⓐ 3.6　ⓑ 3.9

解説を読む

⑤は
$\log_2p+ 3=3\log_2q$
$\log_2p+ log_28=\log_2q^3$
$\log_28p=\log_2q^3$
$8p=q^3$
$p=\frac{q^3}{8}$ →ニ,ヌ,ネ
と変形できる．④⑥の連立方程式を解くと
$p=6\sqrt{6},\hspace{2}q=2\sqrt{6}$ →ノ,ハ,ヒ,フ

$\log_2(2\sqrt{6})=\log_22+\log_2\sqrt{6}$
$=1+\frac{1}{2}\log_26$
$=1+\frac{1}{2}(\log_22+\log_23)$
$=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\times\frac{\log_{10}3}{\log_{10}2}$
$=1.5+ 0.5\times\frac{0.4771}{0.3010}$
=1.5+0.5×1.585
≒1.5+0.792≒1.5+0.8=2.3→⑥ ヘ

♪∀～勝手に批評～個人の感想～∅♥
　教科書レベルの基本問題であり，確実に得点すべき問題です．なお，この問題では $\log_{10}7$ の値は書いてなくても解ける．

→解説を隠す←

【2018年度センター試験.数学Ⅱ･B】第1問[2]（必答問題）

　cを正の定数として，不等式
$x^{\log_3x}\underset{=}{\gt}\Big(\frac{x}{c}\Big)^3$ 　･･･②
を考える。

　3を底とする②の両辺の対数をとり， $t=\log_3x$ とおくと
tソ−タt+タ $\log_3c\underset{=}{\gt}0$ 　･･･③
となる。ただし，対数 $\log_ab$ に対し，aを底といい，bを真数という。

　 $c=$ $\sqrt[3]{9}$ のとき，②を満たすxの値の範囲を求めよう。③により
t≦チ，t≧ツ
である。さらに，真数の条件も考えて
テ<x≦ト，x≧ナ
となる。

解説を読む

【真数が指数関数になっている式は簡単になる】

【指数が対数関数になっている式は簡単になる】

$x^{\log_3x}\underset{=}{\gt}\Big(\frac{x}{c}\Big)^3$
の両辺に3を底とする対数をとると
$\log_3(x^{\log_3x})\underset{=}{\gt}\log_3\Big(\frac{x}{c}\Big)^3$
$(\log_3x)(\log_3x)\underset{=}{\gt}3\log_3\Big(\frac{x}{c}\Big)$
$(\log_3x)(\log_3x)\underset{=}{\gt}3(\log_3x-\log_3c)$
$t=\log_3x$ とおくと
$t^2\underset{=}{\gt}3(t-\log_3c)$
$t^2-3t+ 3\log_3c\underset{=}{\gt}0$ →ソ,タ

$c=$ $\sqrt[3]{9}$ のとき
$3\log_3c=3\log_3\sqrt[3]{9}=3\log_39^{\frac{1}{3}}=3\times\frac{1}{3}\log_39$
$=\log_33^2=2\log_33=2$ だから，不等式は
$t^2-3t+ 2\underset{=}{\gt}0$
$(t-1)(t-2)\underset{=}{\gt}0$
t≦1, t≧2→チ,ツ
さらに
$\log_3x\underset{=}{\lt}1,\hspace{5}\log_3x\underset{=}{\gt}2$
より，真数条件も考えると
0<x≦3, t≧9→テ,ト,ナ
→解説を隠す←

　次に，②がx>テの範囲でつねに成り立つようなcの値の範囲を求めよう。
　xがx>テの範囲を動くとき，tのとり得る値の範囲はニである。ニに当てはまるものを，次の⓪～③のうちから一つ選べ。

⓪　正の実数全体

①　負の実数全体

②　実数全体

③　1以外の実数全体

　この範囲のtに対して，③がつねに成り立つための必要十分条件は，

$\log_3c\underset{=}{\gt}$

ヌ

ネ

である。すなわち，c≧ノ $\sqrt{\hspace{30px;}}$ ハヒ　

である。

解説を読む

xがx>0の範囲を動くとき
$t=\log_3x$ のとり得る値の範囲は，実数全体②→ニ
この範囲のtに対して
$t^2-3t+ 3\log_3c\underset{=}{\gt}0$
がつねに成り立つための必要十分条件は
$D=(-3)^2-12\cdot\log_3c\underset{=}{\lt}0$
$\log_3c\underset{=}{\gt}\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$ →ヌ,ネ
すなわち
$c\underset{=}{\gt}3^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{27}$ →ノ,ハヒ

♪∀～勝手に批評～個人の感想～∅♥
　教科書レベルの基本問題であり，確実に得点すべき問題です．

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【2019年度センター試験.数学Ⅱ･B】第1問[2]（必答問題）

　連立方程式

$\log_2(x+ 2)-2\hspace{2}\log_4(y+ 3)=-1$ 　･･･②
$\big(\hspace{2}\frac{1}{3}\hspace{2}\big)^y-11\big(\hspace{2}\frac{1}{3}\hspace{2}\big)^{x+ 1}+ 6=0$ 　･･･③
を満たす実数x, yを求めよう。

　真数の条件により，x, yのとり得る値の範囲はタである。タに当てはまるものを，次の⓪～⑤のうちから一つ選べ。ただし，対数 $\log_ab$ に対し，aを底といい，bを真数という。

⓪ x>0, y>0

① x>2, y>3

② x>−2, y>−3

③ x<0, y<0

④ x<2, y<3

⑤ x<−2, y<−3

　底の変換公式により

$\log_4(y+ 3)=$

$\log_2(y+ 3)$

チ

である。よって，②から
y=ツx+テ　･･･④
が得られる。

解説を読む

真数条件から
x+2>0, y+3>0
x>−2, y>−3→②タ
底の変換公式から
$\log_4(y+ 3)=\frac{\log_2(y+ 3)}{\log_24}=\frac{\log_2(y+ 3)}{2}$ →チ
よって②から
$\log_2(x+ 2)-2\times\frac{\log_2(y+ 3)}{2}=-1$
$\log_2(x+ 2)-\log_2(y+ 3)=-1$
$\log_2(x+ 2)+ 1=\log_2(y+ 3)$
$2(x+ 2)=y+ 3$
$y=2x+ 1$ →ツ,テ ④
→解説を隠す←

　次に， $t=\big(\hspace{2}\frac{1}{3}\hspace{2}\big)^x$ とおき，④を用いて③をtの方程式に書き直すと
t2−トナt+ニヌ=0　･･･⑤
が得られる。また，xがタにおけるxの範囲を動くとき，tのとり得る値の範囲は
ネ<t<ノ　･･･⑥
である。
　⑥の範囲で方程式⑤を解くと，t=ハとなる。したがって，連立方程式②，③を満たす実数x, yの値は

$x=\log_3$

ヒ

フ

， $y=\log_3$

ヘ

ホ

であることがわかる。

解説を読む

④の $y=2x+ 1$ を③に代入すると
$\big(\hspace{2}\frac{1}{3}\hspace{2}\big)^{2x+ 1}-11\big(\hspace{2}\frac{1}{3}\hspace{2}\big)^{x+ 1}+ 6=0$
$\{\big(\frac{1}{3}\big)^{x}\}^2\times\frac{1}{3}-11\big(\frac{1}{3}\big)^{x}\times\frac{1}{3}+ 6=0$
$t=\big(\hspace{2}\frac{1}{3}\hspace{2}\big)^x$ とおくと
$t^2\times\frac{1}{3}-11t\times\frac{1}{3}+ 6=0$
$t^2-11t+ 18=0$ →トナ,ニヌ
x>&;-2のとき，0<t<9→ネ,ノ
⑤の解t=2, 9のうち，⑥の範囲にあるのは，t=2→ハ
このとき
$x=\log_{\frac{1}{3}}2=\frac{\log_32}{\log_3{\frac{1}{3}}}=-\log_32=\log_3\big(\frac{1}{2}\big)$ →ヒ,フ $y=2x+ 1=2\log_3\big(\frac{1}{2}\big)+ 1=\log_3\frac{1}{4}+\log_33$
$=\log_3\frac{3}{4}$ →ヘ,ホ →解説を隠す←

【2020年度センター試験.数学Ⅱ･B】第1問[2]（必答問題）

(2)　x, yは正の実数とする。連立不等式

$\log_3(x\sqrt{y})\underset{=}{\lt}5$ 　･･･②
$\log_{81}\hspace{2}\frac{y}{x^3}\underset{=}{\lt}1$ 　･･･③
について考える。
　 $X=\log_3x,\hspace{10}Y=\log_3y$ とおくと，②は
ヌX+Y≦ネノ　･･･④
と変形でき，③は
ハX−Y≧ヒフ　･･･⑤
と変形できる。
　X, Yが④と⑤を満たすとき，Yのとり得る最大の整数の値はヘである。また，x, yが②，③と $\log_3y=$ ヘを同時に満たすとき，xのとり得る最大の整数の値はホである。

解説を読む

【連立不等式の解き方】
●「連立方程式」は，２つの式を足したり，引いたりして１つの文字だけにして解く．これに対して

2X+Y≦10
3X−Y≧−4
のような「連立不等式」は，"２つの式を足したり，引いたりする変形"を行わない方がよい･･･変形すると"必要条件に変わってしまい"，元の範囲よりも広い範囲になる．
●「連立不等式」⇒「１つずつ図示」して，共通部分を調べるとよい．

②より
$\log_3x+\log_3\sqrt{y}\underset{=}{\lt}5$
$\log_3x+\frac{1}{2}\log_3y\underset{=}{\lt}5$
$2\hspace{2}\log_3x+\log_3y\underset{=}{\lt}10$
$X=\log_3x,\hspace{10}Y=\log_3y$ とおくと
$2X+ Y\underset{=}{\lt}10$ →ヌ,ネノ

③より
$\log_{81}y-\log_{81}x^3\underset{=}{\lt}1$
$\frac{\lg_3y}{\log_381}-\frac{\log_3x^3}{\log_381}\underset{=}{\lt}1$
ここで， $\log_381=\log_33^4=4\hspace{2}\log_33=4$ だから
$\frac{\lg_3y}{4}-\frac{\log_3x^3}{4}\underset{=}{\lt}1$
$\lg_3y-\log_3x^3\underset{=}{\lt}4$
$\lg_3y-3\hspace{2}\log_3x\underset{=}{\lt}4$
$X=\log_3x,\hspace{10}Y=\log_3y$ とおくと
$Y-3X\underset{=}{\lt}4$
$3X-Y\underset{=}{\gt}-4$ →ハ,ヒフ

2X+Y=10と3X−Y=−4の交点の座標は $(\frac{6}{5},\hspace{2}\frac{38}{5})$
したがって，Y≦7→ヘ
Y=7と3X−Y=−4の交点のX座標は
$X=1$
Y=7と2X+Y=10の交点のX座標は
$X=\frac{3}{2}$
したがって，Y=7のとき
$1\underset{=}{\lt}X\underset{=}{\lt}\frac{3}{2}$
$1\underset{=}{\lt}\log_3x\underset{=}{\lt}\frac{3}{2}$
$3^1\underset{=}{\lt}x\underset{=}{\lt}3^{\frac{3}{2}}$
$3\underset{=}{\lt}x\underset{=}{\lt}\sqrt{27}$
整数ではx≦5→ホ
→解説を隠す←

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