センター試験.数Ⅱ･B-図形と方程式(2013～)

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== センター試験.数Ⅱ･B-図形と方程式(2013～) ==

【2013年度センター試験.数学Ⅱ･B】第1問（必答問題）

〔1〕 Oを原点とする座標平面上に2点A(6, 0), B(3, 3)をとり，線分ABを2：1に内分する点をP，1：2に外分する点をQとする。3点O, P, Qを通る円をCとする。

(1)　Pの座標は( ア，イ )であり，Qの座標は
( ウ，エオ )である。

解説を読む

【内分点・外分点の座標】
●2点A(x1, y1), B(x2, y2)を結ぶ線分ABをm:nに内分する点Pの座標は
$P\Big(\frac{nx_1+ mx_2}{m+ n},\hspace{3}\frac{ny_1+ my_2}{m+ n}\Big)$
●特に，線分ABの中点Mの座標は
$M\Big(\frac{x_1+ x_2}{2},\hspace{3}\frac{y_1+ y_2}{2}\Big)$
●2点A(x1, y1), B(x2, y2)を結ぶ線分ABをm:n (ただし，m≠n)に外分する点Qの座標は
$Q\Big(\frac{-nx_1+ mx_2}{m-n},\hspace{3}\frac{-ny_1+ my_2}{m-n}\Big)$

(1)
点Pの座標は
$\Big(\frac{1\times 6+ 2\times 3}{2+ 1},\hspace{3}\frac{1\times 0+ 2\times 3}{2+ 1}\Big)$
$=\Big(\frac{12}{3},\hspace{3}\frac{6}{3}\Big)=(4,\hspace{2}2)$ →ア,イ
点Qの座標は
$\Big(\frac{-2\times 6+ 1\times 3}{1-2},\hspace{3}\frac{-2\times 0+ 1\times 3}{1-2}\Big)$
$=\Big(\frac{-9}{-1},\hspace{3}\frac{3}{-1}\Big)=(9,\hspace{2}-3)$ →ウ,エオ
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(2)　円Cの方程式を次のように定めよう。線分OPの中点を通り，OPに垂直な直線の方程式は
y=カキx+ク
であり，線分PQの中点を通り，PQに垂直な直線の方程式は
y=x−ケ
である。
　これらの2直線の交点が円Cの中心であることから，円Cの方程式は
(x−コ)2+(y+サ)2=シス
であることがわかる。

(3)　円Cとx軸の二つの交点のうち，点Oと異なる交点をRとすると，Rは線分OAをサ：1に外分する。

解説を読む

(2)
O(0, 0), P(4, 2)の中点の座標は
$\Big(\frac{0+ 4}{2},\hspace{3}\frac{0+ 2}{2}\Big)=(2,\hspace{2}1)$
直線OPの傾きは
$\frac{2-0}{4-0}=\frac{1}{2}$
したがって，直線OPに垂直な直線の傾きは
−2
線分OPの中点を通り，OPに垂直な直線の方程式は
y−1=−2(x−2)
y=−2x+5→カキ,ク

P(4, 2),Q(9, −3)の中点の座標は
$\Big(\frac{4+ 9}{2},\hspace{3}\frac{2+(-3)}{2}\Big)=(\frac{13}{2},\hspace{2}-\frac{1}{2})$
直線PQの傾きは
$\frac{-3-2}{9-4}=-1$
したがって，直線PQに垂直な直線の傾きは
1
線分PQの中点を通り，PQに垂直な直線の方程式は
$y+\frac{1}{2}=x-\frac{13}{2}$
$y=x-7$ →ケ

次の連立方程式を解く

y=−2x+5
y=x−7
解はx=4, y=3で円Cの中心(4, 3)と原点Oの距離は $\sqrt{4^2+ 3^2}=5$ だから，円Cの方程式は
(x−4)2+(y−3)2=25

(x−4)2+(y−3)2=25にy=0を代入して得られる2つの解はx=0, 8
したがって，R(8, 0)
このとき，OR:RA=8:2=4:1

♪∀～勝手に批評～個人の感想～∅♥
　すべて，教科書レベルの基本問題であり，確実に得点すべきものです．

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【2014年度センター試験.数学Ⅱ･B】第1問（必答問題）

〔1〕 Oを原点とする座標平面において，点P(p, q)を中心とする円Cが，方程式 $y=\frac{4}{3}x$ で表される直線ℓに接しているとする。

(1)　円Cの半径rを求めよう。
　点Pを通り直線ℓに垂直な直線の方程式は

y=−

ア

イ

(x−p)+q

なので，Pからℓに引いた垂線とℓの交点Qの座標は
$\Big(\frac{3}{25}\big($ ウp+エq $\big),\hspace{3}\frac{4}{25}\big($ ウp+エq $\big)\Big)$
となる。
　求めるCの半径rは，Pとℓの距離PQに等しいので
$r=\frac{1}{5}\LARGE{|}$ オp−カq ${|}$ 　･･･①
である。

解説を読む

(1)
　直線ℓの傾きは， $m=\frac{4}{3}$ だから，これに垂直な直線の傾きは， $m^{\tiny{\prime}}=-\frac{3}{4}$
　したがって，点Pを通り直線ℓに垂直な直線の方程式は
$y=-\frac{3}{4}(x-p)+ q$ →ア,イ
　次の連立方程式を解く

$y=\frac{4}{3}x$ ･･･(#1)
$y=-\frac{3}{4}(x-p)+ q$ ･･･(#2)
(#1)(#2)からyを消去すると
$\frac{4}{3}x=-\frac{3}{4}(x-p)+ q$
$16x=-9(x-p)+ 12q$
$25x=9p+ 12q$
$x=\frac{9}{25}p+\frac{12}{25}q$
$=\frac{3}{25}(3p+ 4q)$ →ウ,エ
$y=\frac{4}{3}\times\frac{3}{25}(3p+ 4q)$
$=\frac{4}{25}(3p+ 4q)$

【点と直線の距離の公式】
　点P(x1, y1)から直線ax+by+c=0に降ろした垂線の長さdは
$d=\frac{|ax_1+ by_1+ c|}{\sqrt{a^2+ b^2}}$

点P(p, q)から直線4x−3y=0に降ろした垂線の長さrは
$r=\frac{|4p-3q|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}=\frac{|4p-3q|}{5}$ →オ,カ
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(2)　円Cが，x軸に接し，点R(2, 2)を通る場合を考える。このとき，p>0, q>0である。Cの方程式を求めよう。
　Cはx軸に接するので，Cの半径rはqに等しい。したがって，①により，p=キqである。
　Cは点Rを通るので，求めるCの方程式は
(x−ク)2+(y−ケ)2=コ　･･･②
または
(x−サ)2+(y−シ)2=ス　･･･③
であることがわかる。ただし，コ<スとする。

(3)　方程式②の表す円の中心をS，方程式③の表す円の中心をTとおくと，直線STは原点Oを通り，点Oは線分STをセする。セに当てはまるものを，次の⓪～⑤のうちから一つ選べ。

⓪ 1：1に内分

① 1：2に内分

② 2：1に内分

③ 1：1に外分

④ 1：2に外分

⑤ 2：1に外分

解説を読む

4p−3q=±5q（ただし，p, q>0）より
ア） 4p−3q=5qのとき
4p=8q
p=2q→キ
イ） 4p−3q=−5qのとき
4p=−2q
2p=−q→（p,q>0だから不適当）

ア）から円(x−2q)2+(y−q)2=q2は点R(2, 2)を通るから
(2−2q)2+(2−q)2=q2
4q2−12q+8=0
q2−3q+2=0
(q−1)(q−2)=0
q=1, 2
(p, q)=(2, 1), (4, 2)
したがって，求めるCの方程式は
(x−2)2+(y−1)2=1→ク,ケ,コ
または
(x−4)2+(y−2)2=4→サ,シ,ス

O(0, 0), S(2, 1), T(4, 2)について，点Oは線分STを1：2に外分する→④セ
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