絶対値付きの定積分（入試問題）

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== 絶対値付きの定積分（数学Ⅱ，入試問題） ==

【例題1】
　定積分 $\underset{-1}{\int^{2}}\mid x^3-3x^2+ 2x\mid dx$ の値を求めよ．

（2011年度九州歯科大）

（解説）

■絶対値付き関数の積分を求めるには，「場合分けにより絶対値を外してから積分する」のが基本
■『気長に』『愚直に』やるべし･･･正直者が報われる
■「楽な方法」「近道，裏技」はない･･･迷いの時間が無駄

$x^3-3x^2+ 2x=x(x-1)(x-2)$
だから， $y=f(x)=x(x-1)(x-2)$ と $y=|f(x)|=\mid x(x-1)(x-2)\mid$ のグラフは右図の通り．
ア）−1≦x<0のとき
$\mid x(x-1)(x-2)\mid=-(x^3-3x^2+ 2x)$
$\underset{-1}{\int^{0}}\mid x^3-3x^2+ 2x\mid dx=\underset{-1}{\int^{0}}(-x^3+ 3x^2-2x)dx=\frac{9}{4}$
イ）0≦x<1のとき
$\mid x(x-1)(x-2)\mid=x^3-3x^2+ 2x$
$\underset{0}{\int^{1}}\mid x^3-3x^2+ 2x\mid dx=\underset{0}{\int^{1}}(x^3-3x^2+ 2x)dx=\frac{1}{4}$
ウ）1≦x<2のとき
$\mid x(x-1)(x-2)\mid=-(x^3-3x^2+ 2x)$
$\underset{1}{\int^{2}}\mid x^3-3x^2+ 2x\mid dx=\underset{1}{\int^{2}}(-x^3+ 3x^2-2x)dx=\frac{1}{4}$
ア)イ)ウ）より
$\underset{-1}{\int^{2}}\mid x^3-3x^2+ 2x\mid dx=\frac{9}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{11}{4}$ ･･･（答）

（閑談）
高校数学Ⅰ，Ⅱの答案で，場合分けは「漏れなく」「重複なく」行うのが基本で，「重複がある」ような場合分けは，めったにないが，定積分については
$\underset{a}{\int^{b}}f(x)dx=\underset{a}{\int^{c}}f(x)dx+\underset{c}{\int^{b}}f(x)dx\hspace{5}(a\lt c\lt b)$
という「重要公式」に示されるように，つなぎ目の $c$ は，左にも右にも入っている．

すなわち

ア） a≦x≦cのときf(x)=f1(x)
イ） c≦x≦bのときf(x)=f2(x)

のように書かれ，コウモリ軍団cは，左側の区間にも，右側の区間にも入っていることになる．（教科書や参考書では，ア）イ）のように書かれる．）
　しかし，次の公式があるので，結果的には，矛盾はない．
$\underset{c}{\int^{c}}f_1(x)dx=0$
これにより
$\underset{a}{\int^{b}}f(x)dx$
$=\left(\underset{a}{\int^{c}}f_1(x)dx-\underset{c}{\int^{c}}f_1(x)dx\right)+\underset{c}{\int^{b}}f_2(x)dx$

a≦x<c

c≦x≦b

という解釈ができる！
（ペラペラの皮を１枚はがすと（ $-\underset{c}{\int^{c}}f_1(x)dx$ ）となって，コウモリ軍団は，鳥軍団の専属だと解釈できる．）

【類題1.1】　

　定積分 $\underset{0}{\int^{4}}\mid x^2-7x+ 10\mid dx$ を求めよ．

（2016年度北海学園大工学部）

［解答を見る］

$x^2-7x+ 10=(x-2)(x-5)\lt 0$
$\rightarrow 2\lt x\lt 5$
$(x-2)(x-5)\gt 0\rightarrow x\lt 2,\hspace{5}5\lt x$
だから
ア） 0≦x≦2のとき
$\underset{0}{\int^{2}}\mid x^2-7x+ 10\mid dx=\underset{0}{\int^{2}}(x^2-7x+ 10)dx$
$=\left[\frac{x^3}{3}-\frac{7x^2}{2}+ 10x\right]_0^2=\frac{26}{3}$
イ） 2≦x≦4のとき
$\underset{2}{\int^{4}}\mid x^2-7x+ 10\mid dx=\underset{2}{\int^{4}}(-x^2+ 7x-10)dx$
$=\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{7x^2}{2}-10x\right]_2^4=(-\frac{64}{3}+ 56-40)-(-\frac{8}{3}+ 14-20)$
$=\frac{10}{3}$
ア）イ）より
$\underset{0}{\int^{4}}\mid x^2-7x+ 10\mid dx=\frac{36}{3}=12$ ･･･（答）

（閑談）
　間違って「６分の公式」を使わないように！
　いわゆる「６分の公式」が使えるのは，右図のように「交点から交点までの閉じた図形」になっている場合に限る!
$\underset{\alpha}{\int^{\beta}}(x-\alpha)(x-\beta)dx=-\frac{1}{6}(\beta-\alpha)^3$
　類題1は，閉じた図形でないから「６分の公式」は使えない．
** 気を付けよう！甘い言葉と暗い道！ **

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【類題1.2】　

　定積分 $\underset{^^0}{\int^{2}}\left| x^2-4x+ 3\right| dx$ を求めよ．

（2005年度甲南大理工学部）

［解答を見る］

$x^2-4x+ 3=(x-1)(x-3)\lt 0$
$\rightarrow 1\lt x\lt 3$
$(x-1)(x-3)\gt 0\rightarrow x\lt 1,\hspace{5}3\lt x$
だから
ア） 0≦x≦1のとき
$\underset{^0}{\int^{1}}\left| x^2-4x+ 3\right| dx=\underset{^0}{\int^{1}}(x^2-4x+ 3)dx$
$=\left[\frac{x^3}{3}-2x^2+ 3x\right]_0^1=\frac{4}{3}$
イ） 1≦x≦2のとき
$\underset{^1}{\int^{2}}\left| x^2-4x+ 3\right| dx=\underset{^1}{\int^{2}}(-x^2+ 4x-3)dx$
$=\left[-\frac{x^3}{3}+ 2x^2-3x\right]_1^2=\frac{2}{3}$
ア）イ）より
$\underset{^^0}{\int^{2}}\left| x^2-4x+ 3\right| dx=2$ ･･･（答）
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【類題1.3】　

　関数 $f(x)=\mid x^2-4\mid-3$ について，次の問いに答えよ．
(1)　方程式 $f(x)=0$ の解を求めよ．
(2)　関数 $y=f(x)$ のグラフをかけ．
(3)　関数 $y=f(x)$ のグラフとx軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．

（2016年度新潟大）

［解答を見る］

(1)
$f(x)=\mid x^2-4\mid-3=0$
$\left| x^2-4\right|=3$
$x^2-4=\pm 3$
$x^2=7,\hspace{3}1$
$x=\pm\sqrt{7},\hspace{3}\pm 1$ ･･･（答）
(2)　右図（赤線）
(3) 左右対称だからx≧0の部分の面積を求めて，２倍する
ア） 0≦x<1のとき
$f(x)=-(x^2-4)-3=-x^2+ 1$
$\underset{^0}{\int^{1}}(-x^2+ 1)dx=\left[-\frac{x^3}{3}+ x\right]_0^1=\frac{2}{3}$
イ） 1≦x<2のとき
$\underset{^1}{\int^{2}}(x^2-1)dx=\left[\frac{x^3}{3}-x\right]_1^2=(\frac{8}{3}-2)-(\frac{1}{3}-1)=\frac{4}{3}$
ウ） 2≦x< $\sqrt{7}$ のとき
$\underset{^2}{\int^{\sqrt{7}}}(-x^2+ 7)dx=\left[-\frac{x^3}{3}+ 7x\right]_2^{\sqrt{7}}=\frac{14\sqrt{7}-34}{3}$
ア）イ）ウ）より
$2(\frac{2}{3}+ \frac{4}{3}+\frac{14\sqrt{7}-34}{3})=\frac{28\sqrt{7}-56}{3}$ ･･･（答）
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【類題1.4】　

　xy平面上で，y=xのグラフと $y=\left|\frac{3}{4}x^2-3\right|-2$ のグラフによって囲まれる図形の面積を求めよ．

（2011年度京都大理科系）

［解答を見る］

$y=\left|\frac{3(x+ 2)(x-2)}{4}\right|-2$

−2≦x<2のとき
$y=-\frac{3(x+ 2)(x-2)}{4}-2$
$=-\frac{3}{4}x^2+ 1$

$y=x$ との交点は
$-\frac{3}{4}x^2+ 1=x$
$3x^2+ 4x-4=0$
$(3x-2)(x+ 2)=0$
$x=-2,\hspace{2}\frac{2}{3}$

ア）−2≦x< $\frac{2}{3}$ のとき
$S_1=\underset{^{-2}}{\int^{\frac{2}{3}}}(-\frac{3}{4}x^2+ 1-x)dx$
この計算は，「いわゆる６分の公式」でできる．
$\frac{1}{6}\cdot\frac{3}{4}\times(\frac{8}{3})^3=\frac{64}{27}$

イ） $\frac{2}{3}$ ≦x<2のとき
$S_2=\underset{^{\frac{2}{3}}}{\int^{2}}\{x-(-\frac{3}{4}x^2+ 1)\}dx=\left[\frac{x^3}{4}+\frac{x^2}{2}-x\right]_{\frac{2}{3}}^2$
$=\frac{64}{27}$

ウ）2≦xのとき
$y=\frac{3(x+ 2)(x-2)}{4}-2$
$=\frac{3}{4}x^2-5$

$y=x$ との交点は
$\frac{3}{4}x^2-5=x$
$3x^2-4x-20=0$
$(3x-10)(x+ 2)=0$
$x=\frac{10}{3}\hspace{5}(x\underline{\ge}2)$

$S_3=\underset{^{2}}{\int^{\frac{10}{3}}}\{x-(\frac{3}{4}x^2-5)\}dx$
$=\left[-\frac{x^3}{4}+\frac{x^2}{2}+ 5x\right]_{2}^{\frac{10}{3}}$
$=\frac{80}{27}$

アイウ）より
$S_1+ S_2+ S_3=\frac{208}{27}$ ･･･（答） →閉じる←

【例題2】

$\underset{^{-2}}{\int^{2}}\left(\mid x^2-2x\mid+\mid x+ 1\mid+\mid x-1\mid\right)dx$ =ウエ

（2005年度早稲田大商学部）

（解説）

■複数個の絶対値記号を
外すには
⇒　区切り目を並べて，細かく場合分けする

$\mid x^2-2x\mid=$

$x^2-2x\hspace{5}(x\lt 0,\hspace{2}x\underline{\ge}2)$
$-x^2+ 2x\hspace{5}(0\underline{\le}x\lt 2)$
$\mid x+ 1\mid=$

$-x-1\hspace{5}(x\lt -1)$
$x+ 1\hspace{5}(-1\underline{\le}x)$
$\mid x-1\mid=$

$-x+ 1\hspace{5}(x\lt 1)$
$x-1\hspace{5}(1\underline{\le}x)$
そこで
ア）−2≦x<−1のとき
$\mid x^2-2x\mid=x^2-2x$
$\mid x+ 1\mid=-x-1$
$\mid x-1\mid=-x+ 1$
$\underset{^{-2}}{\int^{1}}(x^2-4x)dx=\left[\frac{x^3}{3}-2x^2\right]_{-2}^{-1}=\frac{25}{3}$
イ）−1≦x<0のとき
$\mid x^2-2x\mid=x^2-2x$
$\mid x+ 1\mid=x+ 1$
$\mid x-1\mid=-x+ 1$
$\underset{^{-1}}{\int^{0}}(x^2-2x+ 2)dx=\left[\frac{x^3}{3}-x^2+ 2x\right]_{-1}^{0}=\frac{10}{3}$
ウ）0≦x<1のとき
$\mid x^2-2x\mid=-x^2+ 2x$
$\mid x+ 1\mid=x+ 1$
$\mid x-1\mid=-x+ 1$
$\underset{^{0}}{\int^{1}}(-x^2+ 2x+ 2)dx=\left[-\frac{x^3}{3}+ x^2+ 2x\right]_{0}^{1}=\frac{8}{3}$
エ）1≦x<2のとき
$\mid x^2-2x\mid=-x^2+ 2x$
$\mid x+ 1\mid=x+ 1$
$\mid x-1\mid=x-1$
$\underset{^{1}}{\int^{2}}(-x^2+ 4x)dx=\left[-\frac{x^3}{3}+ 2x^2\right]_{1}^{2}=\frac{11}{3}$
アイウエ）より
$\underset{^{-2}}{\int^{2}}\left(\mid x^2-2x\mid+\mid x+ 1\mid+\mid x-1\mid\right)dx=18$ ･･･（答）

【類題2.1】　

　関数f(x)を $f(x)=\left| 2x^2-3x\right|+\left| 2x^2-5x+ 2\right|$ によって定める．
(1) f(x)の絶対値記号をはずせ．
(2) y=f(x)のグラフをかけ．
(3) y=f(x)のグラフと $y=4x^2-8x+ 2$ のグラフとで囲まれる部分の面積Sを求めよ．

（2016年度中央大法学部）

［解答を見る］

(1)
$x(2x-3)\gt 0\Leftrightarrow x\lt 0,\hspace{3}x\gt \frac{3}{2}$
$x(2x-3)\lt 0\Leftrightarrow 0\lt x\lt \frac{3}{2}$

$(2x-1)(x-2)\gt 0\Leftrightarrow x\lt \frac{1}{2},\hspace{3}x\gt 2$
$(2x-1)(x-2)\lt 0\Leftrightarrow\frac{1}{2}\lt x\lt 2$
ア） $x\lt 0$ のとき
$f(x)=(2x^2-3x)+(2x^2-5x+ 2)$
$=4x^2-8x+ 2$

イ） $0\underline{\le}x\lt\frac{1}{2}$ のとき
$f(x)=-(2x^2-3x)+(2x^2-5x+ 2)$
$=-2x+ 2$

ウ） $\frac{1}{2}\underline{\le}x\lt\frac{3}{2}$ のとき
$f(x)=-(2x^2-3x)-(2x^2-5x+ 2)$
$=-4x^2+ 8x-2$

エ） $\frac{3}{2}\underline{\le}x\lt 2$ のとき
$f(x)=(2x^2-3x)-(2x^2-5x+ 2)$
$=2x-2$

オ） $2\underline{\le}x$ のとき
$f(x)=(2x^2-3x)+(2x^2-5x+ 2)$
$=4x^2-8x+ 2$ ･･･（答）
(2)

グラフは右図の通り
(3)
図形はx=1に関して対称だから，x≧1の部分の面積を求めて２倍する

$S_1=\underset{^{1}}{\int^{\frac{3}{2}}}\{(-4x^2+ 8x-2)$
$-(4x^2-8x+ 2)\}dx$
$=\underset{^{1}}{\int^{\frac{3}{2}}}(-8x^2+ 16x-4)dx$
$=\left[-\frac{8}{3}x^3+ 8x^2-4x\right]_1^{\frac{3}{2}}=\frac{5}{3}$
$S_2=\underset{^{\frac{3}{2}}}{\int^{2}}\{(2x-2)-(4x^2-8x+ 2)\}dx$
$=\underset{^{\frac{3}{2}}}{\int^{2}}(-4x^2+ 10x-4)dx$
$=\left[-\frac{4}{3}x^3+ 5x^2-4x\right]_1^{\frac{3}{2}}=\frac{7}{12}$
$2(S_1+ S_2)=2(\frac{5}{3}+\frac{7}{12})=2\times\frac{9}{4}=\frac{9}{2}$ ･･･（答）
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【例題3】
　1≦x≦2とする．関数 $f(x)=\underset{^{1}}{\int^{2}}\mid t-x\mid dt$ を最小にするxの値を求めよ．

（2016年度愛媛大農学部・教育学部）

（解説）
ア）1≦t<xのとき，t−x<0だから
|t−x|=x−t
イ）x≦t<2のとき，t−x>0だから
|t−x|=t−x

$f(x)=\underset{^{1}}{\int^{2}}\mid t-x\mid dt=\underset{^{1}}{\int^{x}}\mid t-x\mid dt+\underset{^{x}}{\int^{2}}\mid t-x\mid dt$

$=\underset{^{1}}{\int^{x}}(x-t)dt+\underset{^{x}}{\int^{2}}(t-x)dt$
$=\left[xt-\frac{t^2}{2}\right]_1^x+\left[\frac{t^2}{2}-xt\right]_x^2$
$=(x^2-\frac{x^2}{2})-(x-\frac{1}{2})+(2-2x)-(\frac{x^2}{2}-x^2)$
$=x^2-3x+\frac{5}{2}$
$f\apos(x)=2x-3$

$x$	1	･･･	$\frac{3}{2}$	･･･	2
$f\apos(x)$		−	0	+
$f(x)$		$\searrow$	$\frac{1}{4}$	$\nearrow$

表により， $x=\frac{3}{2}$ のとき最小になる･･･（答）

【類題3.1】　

　0<k<3のとき，直線y=kxと曲線y=|x(x−3)|とで囲まれた図形の面積が最小となるようなkの値を求めよ．

（2005年度東京学芸大）

［解答を見る］

ア） 0≦x<3のとき，
|x(x−3)|=−x(x−3)だから
−x(x−3)=kxならば
x(x−k+3)=0
x=0, 3−k
イ） 3≦xのとき，
|x(x−3)|=x(x−3)だから
x(x−3)=kxならば
x=3+k (≧3)
$S_1=\frac{(3-k)^3}{6}$ （←いわゆる「6分の公式」）
$S_2=\underset{^{3-k}}{\int^{3}}\{x^2+(k-3)x\}dx=\left[\frac{x^3}{3}+\frac{k-3}{2}x^2\right]_{3-k}^3$
$=9+\frac{9}{2}(k-3)+\frac{(3-k)^3}{6}$
$S_3=\underset{^{3}}{\int^{3+ k}}\{kx-x^2+ 3x\}dx=\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{k+ 3}{2}x^2\right]_{3}^{3+ k}$
$=\frac{(3+ k)^3}{6}+ 9-\frac{9}{2}(k+ 3)$
$f(k)=S_1+ S2+ S_3=\frac{1}{6}(-k^3+ 27k^2-27k+ 81)$
とおくと
$f\apos(k)=\frac{1}{2}(-k^2+ 18k-9)$
$f\apos(k)=0\leftrightarrow k=9-6\sqrt{2}\hspace{5}(0\lt k\lt 3)$

$k$	0	･･･	$9-6\sqrt{2}$	･･･	3
$f\apos(k)$		−	0	+
$f(k)$		$\searrow$	最小	$\nearrow$

表により， $k=9-6\sqrt{2}$ のとき最小になる･･･（答）

（参考）最小となる場合，右図の増加分と減少分が等しくなる．
扇形の面積は（中心角が同じならば）半径の２乗に比例するから
$(3+ k)^3=2(3-k)^2$
$\rightarrow k=9\pm 6\sqrt{2}$
$0\lt k\lt 3\rightarrow k=9-6\sqrt{2}$
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【類題3.2】　

　f(x)を $f(x)=\underset{^{0}}{\int^{x}}| t- 2 | dt$ とする．
ただし，x≧0とする．
　関数y=f(x)のグラフとx軸，x=1, x=4で囲まれる

部分の面積はナ　　ニ　　である．

（2016年度早稲田大人間科学部）

［解答を見る］

ア） 0≦x<2のとき，
|t−2|=2−tだから
$f(x)=\underset{^{0}}{\int^{x}}| t- 2 | dt=\underset{^{0}}{\int^{x}}(2-t)dt$
$=\left[2t-\frac{t^2}{2}\right]_0^x=2x-\frac{x^2}{2}=\frac{x(4-x)}{2}$
イ） 2≦xのとき，
$f(x)=\underset{^{0}}{\int^{2}}(2-t)dt+\underset{^{2}}{\int^{x}}(t-2)dt$
$=\left[2t-\frac{t^2}{2}\right]_0^2+\left[\frac{t^2}{2}-2t\right]_2^x$
$=(4-2)+(\frac{x^2}{2}-2x)-(2-4)=\frac{x^2-4x+ 8}{2}$

　右図の面積は
$\underset{^{1}}{\int^{2}}(2x-\frac{x^2}{2})dx+\underset{^{2}}{\int^{4}}(\frac{x^2}{2}-2x+ 4)dx$
$=\left[x^2-\frac{x^3}{6}\right]_1^2+\left[\frac{x^3}{6}-x^2+ 4x\right]_2^4$
$=(4-\frac{4}{3})-(1-\frac{1}{6})+(\frac{64}{6}-16+ 16)-(\frac{8}{6}-4+ 8)$
$=\frac{43}{6}$ ･･･（答）
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【類題3.3】　

(1)　aを任意の実数とするとき，y=x|a−x|のグラフをかけ．

(2)　 $f(x)=\underset{^{-1}}{\int^{x}}t|1-t|dt$ としたとき，f(x)の最小値を求めよ．

（2005年度公立はこだて未来大）

［解答を見る］

(1)
ア）　x<aのとき，y=x(a−x)
イ）　a≦xのとき，y=x(x−a)

a<0のとき図1，a=0のとき図2，0≦aのとき図3

－図1－

－図2－

－図3－

(2)
　(1)において，a=1の場合を考えると
ア）　x<1のとき，−1≦t≦x (<1)であるどのtについても，t<1が成り立つから
$f(x)=\underset{^{-1}}{\int^{x}}t(1-t)dt=\left[\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{3}\right]_{-1}^x=\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}-\frac{5}{6}$
イ）　1≦xのとき
−1≦t<1であるどのtについても，t<1
1≦t≦xであるどのtについても，1≦tであるから
$f(x)=\underset{^{-1}}{\int^{1}}t(1-t)dt+\underset{^{1}}{\int^{x}}t(t-1)dt$
$=\underset{^{-1}}{\int^{1}}(t-t^2)dt+\underset{^{1}}{\int^{x}}(t^2-t)dt$
$=\left[\frac{t^2}{2}-\frac{t^2}{3}\right]_{-1}^1+\left[\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right]_1^x$
$=(-\frac{2}{3})+(\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+\frac{1}{6})$
$=\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}$

ア）の場合， $f\apos(x)=x-x^2=x(1-x)$

イ）の場合， $f\apos(x)=x^2-x=x(x-1)$

x	･･･	0	･･･	1	･･･
f’(x)	−	0	+	0	+
f(x)	$\searrow$	$-\frac{5}{6}$	$\nearrow$		$\nearrow$

　表により，x=0のとき，最小値 $-\frac{5}{6}$ をとる･･･（答）
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【類題3.4】　

0<t<1を満たすtに対し, $f(t)=\underset{^{t\hspace{20}}}{\int^{t+ 1}}\left|x^2-5x+ 4\right|dx$
とおく．このとき，次の設問に答えよ．
(1)　f(t)を求めよ．
(2)　f(t)を最小にするtの値を求めよ．

（2005年度岡山理科大）

［解答を見る］

(1)
$x^2-5x+ 4=(x-1)(x-4)$
0<t<1<t+1<2だから
$f(t)=\underset{^{t}}{\int^{1}}(x^2-5x+ 4)dx+\underset{^{1\hspace{20}}}{\int^{t+ 1}}(-x^2+ 5x-4)dx$
$=\left[\frac{x^3}{3}-\frac{5x^2}{2}+ 4x\right]_t^1+\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{5x^2}{2}-4x\right]_1^{t+ 1}$
（途中計算略）
$=-\frac{2}{3}t^3+ 4t^2-4t+\frac{11}{6}$
(2)
$f\apos(t)=-2t^2+ 8t-4=-2(t^2-4t+ 2)=0$
の解は， $t=2\pm\sqrt{2}$
0<t<1だから $t=2-\sqrt{2}$

t	0	･･･	$2-\sqrt{2}$	･･･	1
f’(t)	$\times$	−	0	+	$\times$
f(t)	$\times$	$\searrow$	最小	$\nearrow$	$\times$

　ゆえに，f(t)を最小にするtの値は $t=2-\sqrt{2}$ ･･･（答）
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