平面ベクトル（大学入試問題）

== 平面ベクトル（大学入試問題） ==

[難易度] 初歩:☆, 基本:★, 普通:★★, やや難:★★★

♪～内積の定義～♥

【問題1】☆
　1辺の長さが1の正六角形の頂点を反時計回りにA, B, C, D, E, Fとする．このとき，2つのベクトル $\rm{\vec{AC},\hspace{2}\vec{AD}}$ の内積 $\rm{\vec{AC}\cdot\vec{AD}}$ の値はアである．

(2021年度立教大学入試問題)

解説を読む

（解答）

• 中学校で習う三平方の定理を使えば，6個ある正三角形の高さが $\frac{\sqrt{3}}{2}$ であることが分かる
• $\rm{\mid\vec{AC}\mid=\sqrt{3},\hspace{3}\mid\vec{AD}\mid=2}$
• ∠CAD=30°
$\rm{\vec{AC}\cdot\vec{AD}}=\sqrt{3}\times 2\times\cos 30^{\circ}$
$=\sqrt{3}\times 2\times\frac{\sqrt{3}}{2}=3$

基本小問セットの1番の問題で，教科書レベルです．他の問題は，こんなに簡単ではありません．

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♠～絶対値の変形～♣

【問題2】☆
　ベクトル $\vec{a},\hspace{3}\vec{b}$ が $\mid\vec{a}\mid=3,\hspace{3}\mid\vec{b}\mid=1,\hspace{3}\mid\vec{a}+\vec{b}\mid=\sqrt{13}$ を満たすとき， $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角θはθ=(d)である．ただし，0°≦θ≦180°とする．

(2021年度神奈川大学入試問題)

解説を読む

（解答）
$\mid\vec{a}+\vec{b}\mid^2=13$
$\mid\vec{a}\mid^2+ 2\vec{a}\cdot\vec{b}+\mid\vec{b}\mid^2=13$
$9+ 2\times 3\times 1\cos\theta+ 1=13$
$6\cos\theta=3$
$\cos\theta=\frac{1}{2}$
$\theta=60^{\circ}$ ･･･（答）
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【問題3】☆
　平面ベクトル $\vec{a},\hspace{3}\vec{b}$ について， $\mid\vec{a}\mid=3,\hspace{3}\mid\vec{b}\mid=2$ , $\mid 2\vec{a}-3\vec{b}\mid=2\sqrt{3}$ が成り立つとき， $\mid 3\vec{a}-2\vec{b}\mid=2\sqrt{3}$ の値はである．

(2021年度京都産業大学入試問題)

解説を読む

（解答）
$\mid\vec{a}\mid=3$ により， $\vec{a}\cdot\vec{a}=9$ ･･･①
$\mid\vec{b}\mid=2$ により， $\vec{b}\cdot\vec{b}=4$ ･･･②
$\mid 2\vec{a}-3\vec{b}\mid=2\sqrt{3}$ により，
$(2\vec{a}-3\vec{b})\cdot(2\vec{a}-3\vec{b})=12$
$4\vec{a}\cdot\vec{a}-12\vec{a}\cdot\vec{b}+ 9\vec{b}\cdot\vec{b}=12$
①②を用いると
$36-12\vec{a}\cdot\vec{b}+ 36=12$
$12\vec{a}\cdot\vec{b}=60$
$\vec{a}\cdot\vec{b}=5$ ･･･③
このとき
$\mid 3\vec{a}-2\vec{b}\mid^2=9\vec{a}\cdot\vec{a}-12\vec{a}\cdot\vec{b}+ 4\vec{b}\cdot\vec{b}$
$=81-12\vec{a}\cdot\vec{b}+ 16=97-60=37$
$\mid 3\vec{a}-2\vec{b}\mid=\sqrt{37}$ ･･･（答） →解説を隠す←

【問題4】☆
　ベクトル $\vec{a},\hspace{3}\vec{b}$ は $\mid\vec{a}\mid=\sqrt{5},\hspace{3}\mid\vec{b}\mid=\sqrt{3},\hspace{3}\mid\vec{a}-\vec{b}\mid=3$ を満たす． $\vec{c}=\vec{a}+ t\vec{b}$ （tは実数）とおく．このとき， $\vec{a}\cdot\vec{b}=$ (b)であり， $\vec{a}$ と $\vec{c}$ のなす角が90°であるようなtの値は(c)である．

(2021年度明治薬科大学入試問題)

解説を読む

（解答）
$\mid\vec{a}-\vec{b}\mid=3$ だから
$\mid\vec{a}-\vec{b}\mid^2=9$
$\mid\vec{a}\mid^2-2\vec{a}\cdot\vec{b}+\mid\vec{b}\mid^2=9$
$5-2\vec{a}\cdot\vec{b}+ 3=9$
$\vec{a}\cdot\vec{b}=-\frac{1}{2}$ ･･･（答）
$\vec{a}\cdot\vec{c}=0$

⇔ $\vec{a}\cdot(\vec{a}+ t\vec{b})=0$
⇔ $\mid\vec{a}\mid^2+ t\vec{a}\cdot\vec{b}=0$
⇔ $5+ t\times\big(-\frac{1}{2}\big)=0$
⇔ $t=10$ ･･･（答）

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♤♧～ベクトルの垂直条件～♡♢

【問題5】★
　２つの単位ベクトル $\vec{a},\hspace{3}\vec{b}$ のなす角が60°であるとする． $\vec{a}+ t\vec{b}$ と $t\vec{a}-2\vec{b}$ とが垂直であるような正の実数tの値はカである．

(2021年度京都産業大学入試問題)

解説を読む

（解答）
$\vec{a},\hspace{3}\vec{b}$ は，単位ベクトルだから
$\mid\vec{a}\mid=1,\hspace{3}\mid\vec{b}\mid=1$ ･･･①
また，60°だから
$\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot 1\cdot\cos 60^{\circ}=\frac{1}{2}$ ･･･②
ベクトルの垂直条件から
$(\vec{a}+ t\vec{b})\cdot(t\vec{a}-2\vec{b})=0$
$t\mid\vec{a}\mid^2+(t^2-2)\vec{a}\cdot\vec{b}-2t\mid\vec{b}\mid^2=0$
$t+(t^2-2)\times\frac{1}{2}-2t=0$
$2t+(t^2-2)-4t=0$
$t^2-2t-2=0$
解の公式により
$t=1\pm\sqrt{3}$
t>0により
$t=1+\sqrt{3}$ ･･･（答）
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♩♪～三角形の面積～♠♣

【問題6】★
　Oを原点とする平面上に点A, B, Cがあり， $\rm{\mid\vec{OA}\mid}=1$ ,
$\rm{\mid\vec{OB}\mid=2,\hspace{3}\vec{OA}\cdot\vec{OB}=-1}$ ，三角形ABCの重心はOであるとする．このとき，∠AOB=アである．また， $\rm{\mid\vec{OC}\mid}=$ イであり，三角形ABCの面積はウである．

(2021年度関西学院大学入試問題)

解説を読む

（解答）

∠AOB=θとおくと
$\rm{\vec{OA}\cdot\vec{OB}}$
$\rm{=\mid\vec{OA}\mid\cdot\mid\vec{OB}\mid\cos\theta}$
$=1\times 2\times\cos\theta=-1$
$\cos\theta=-\frac{1}{2}$
θ=120°→ア

三角形ABCの重心はOであるから
$\rm{\frac{\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}}{3}=\vec{0}}$
$\rm{\vec{OC}=-(\vec{OA}+\vec{OB})}$ $\rm{\mid\vec{OC}\mid^2=(\vec{OA}+\vec{OB})\cdot(\vec{OA}+\vec{OB})}$
$=\rm{\mid\vec{OA}\mid^2+ 2\vec{OA}\cdot\vec{OB}+\mid\vec{OB}\mid^2}$
=1−2+4=3
$\rm{\mid\vec{OC}\mid}=\sqrt{3}$ →イ･･･（答）

$\rm{\vec{OC}=-(\vec{OA}+\vec{OB})}$ だから
$\rm{\vec{OC}\cdot\vec{OA}=-(\vec{OA}\cdot\vec{OA}+\vec{OB}\cdot\vec{OA})}$
$=-(1-1)=0$
したがって
∠COA=φとおくと，φ=90°
また
∠BOC=360°−(120°+90°)=150°
$\rm{\Delta ABC=\Delta OAB+\Delta OBC+\Delta OCA}$ $\rm{=\frac{1}{2}(\mid\vec{OA}\mid\cdot\mid\vec{OB}\mid\sin 120^{\circ}+\mid\vec{OB}\mid\cdot\mid\vec{OC}\mid\sin 150^{\circ}}$
$\rm{+\mid\vec{OC}\mid\cdot\mid\vec{OA}\mid\sin 90^{\circ})}$
$=\frac{1}{2}(1\cdot 2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+2\cdot\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}+\sqrt{3}\cdot 1\cdot 1)$
$=\frac{3}{2}\sqrt{3}$ ･･･（答）
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☀☂～2直線の交点～♠♣

【ベクトルの一次独立 ⇒ 2直線の交点の求め方】
$\vec{a}\ne\vec{0},\hspace{3}\vec{b}\ne\vec{0}$ かつ $\vec{a}$ ∦ $\vec{b}$ のとき
• $s\vec{a}+ t\vec{b}=\vec{0}$ ⇔ $s=0,\hspace{5}t=0$ ･･･(#1)
• $s_1\vec{a}+ t_1\vec{b}=s_2\vec{a}+ t_2\vec{b}$ ⇔ $s_1=s_2,\hspace{5}t_1=t_2$ ･･･(#2)
(#1)の形で使ってもよいし，(#2)の形で使ってもよい．(#1)(#2)は互いに同値

【問題7】★
　三角形ABCにおいて $\rm{\vec{AB}}=\vec{b},\hspace{3}\rm{\vec{AC}}=\vec{c}$ とおく．線分ABの中点をP，線分ACを1：3に内分する点をQ，三角形ABCの重心をRとおく．また，2点A, Rを通る直線と線分PQの交点をS，線分SRを3：2に外分する点をTとする．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)　 $\rm{\vec{AP}}=$

ア

イ

$\vec{b},\hspace{3}\rm{\vec{AQ}}=$

ウ

エ

$\vec{c}$ である．

(2)　 $\rm{\vec{AR}}=$

オ

カ

$\vec{b}+$

キ

ク

$\vec{c}$ ，

$\rm{\vec{AS}}=$

ケ

コ

$\vec{b}+$

サ

シ

$\vec{c}$ である．

(3)　 $\rm{\vec{AT}}=$

ス

セ

$\vec{b}+$

ソ

タ

$\vec{c}$ である．

また，△PQTの面積をS1，△ABCの面積をS2

とすると，

チ

ツ

である．

(4)　△PQTの面積が $\frac{9}{4}$ でベクトル $\vec{b},\hspace{3}\vec{c}$ のなす角が60°のとき $\vec{b}$ と $\vec{c}$ の内積 $\vec{b}\cdot\vec{c}=$ テ $\sqrt{\hspace{30px;}}$ ト　　　である．

(2021年度東北医薬科大学入試問題)

解説を読む

（解答）
(1)
PはABの中点だから
$\rm{\vec{AP}=\frac{1}{2}\vec{AB}}=\frac{1}{2}\vec{b}$
AQ:QC=1:3だから
$\rm{\vec{AQ}=\frac{1}{4}\vec{AC}}=\frac{1}{4}\vec{c}$

(2)
Rは三角形 $\rm{A}(\vec{0}),\hspace{3}\rm{B}(\vec{b}),\hspace{3}\rm{C}(\vec{c})$ の重心だから
$\rm{\vec{AR}}=\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}$
SはAR上にあるから
$\rm{\vec{AS}}=s\rm{\vec{AR}}=s\big(\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}\big)$ 　（sは実数）･･･(#1)
また，SはPQ上にあるから
$\rm{\vec{AS}}=\rm{\vec{AP}}+ t\rm{\vec{PQ}}=\frac{1}{2}\vec{b}+ t\big(\frac{1}{4}\vec{c}-\frac{1}{2}\vec{b}\big)$
$\rm{\vec{AS}}=(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}t)\vec{b}+ \frac{1}{4}t\vec{c}$ 　（tは実数）･･･(#2)
$\vec{b}\ne\vec{0},\hspace{3}\vec{c}\ne\vec{0}$ かつ $\vec{b}$ ∦ $\vec{c}$ と(#1)(#2)から $\vec{b},\hspace{3}\vec{c}$ の係数は，それぞれ等しいと言える.

$\frac{1}{3}s=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}t$ ⇔ 2s=3−3t･･･(#1')
$\frac{1}{3}s=\frac{1}{4}t$ ⇔ 4s=3t･･･(#2')
連立方程式(#1')(#2')を解くと
$s=\frac{1}{2},\hspace{5}t=\frac{2}{3}$
(#1)に戻すと
$\rm{\vec{AS}}=\frac{1}{2}\big(\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}\big)=\frac{1}{6}\vec{b}+\frac{1}{6}\vec{c}$

(3)
線分SRを3：2に外分する点がTだから
ST=3SR
$\rm{\vec{AT}}=\rm{\vec{AS}+\vec{ST}}=\rm{\vec{AS}+ 3\vec{SR}}$
$=\frac{1}{6}\vec{b}+\frac{1}{6}\vec{c}+ 3\big{\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{1}{3}\vec{c}-(\frac{1}{6}\vec{b}+\frac{1}{6}\vec{c})\big}}$
$=\frac{1}{6}\vec{b}+\frac{1}{6}\vec{c}+ \frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}}$
$=\frac{2}{3}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{c}$
AP:AB=1:2, AQ:AC=1:4だから
△APQ:△ABC=1:8
また，AS:ST=1:3だから
△APQ:△PQT=1:3
したがって
$\rm{\frac{\Delta PQT}{\Delta ABC}=\frac{S_1}{S_2}}=\frac{3}{8}$

(4)
上記の(3)の結果から
$\frac{3}{8}\rm{\Delta ABC}=\frac{3}{4}$
$\frac{3}{8}\times\frac{1}{2}\mid\vec{b}\mid\cdot\mid\vec{c}\mid\cdot\sin 60^{\circ}=\frac{3}{4}$
$\mid\vec{b}\mid\cdot\mid\vec{c}\mid=8\sqrt{3}$
したがって
$\vec{b}\cdot\vec{c}=\mid\vec{b}\mid\cdot\mid\vec{c}\mid\cos 60^{\circ}=8\sqrt{3}\times\frac{1}{2}=4\sqrt{3}$
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☀☂～2直線の交点～♠♣

【問題8】★
　次の設問(1)～(3)までの空欄を，あてはまる数値や記号，式で埋めなさい．空欄は全部で3箇所である．

　OA=4, OB=3, ∠AOB=60°の平行四辺形OACBにおいて， $\rm{\vec{OA}}=\vec{a},\hspace{3}\rm{\vec{OB}}=\vec{b}$ とする．また，辺OAの中点をD，線分CDを1:2に内分する点をEとする．
(1)　 $\rm{\vec{OE}}$ を $\vec{a},\hspace{3}\vec{b}$ を用いて表すと $\rm{\vec{OE}}=$ 1である．
(2)　直線OEと辺ACの交点をFとする． $\rm{\vec{OF}}$ を $\vec{a},\hspace{3}\vec{b}$ を用いて表すと $\rm{\vec{OF}}=$ 2である．
(3)　 $\rm{\vec{AE}}=$ 3である．

(2021年度獨協大学入試問題)

解説を読む

（解答）
(1)
Oを原点とする位置ベクトルで表すとき，Dは， $\rm{O}(\vec{0})$ , $\rm{A}(\vec{a})$ の中点だから
$\rm{D}(\frac{\vec{a}}{2})$
Eは， $\rm{C}(\vec{a}+\vec{b})$ , $\rm{D}(\frac{\vec{a}}{2})$ を1:2に内分する点だから
$\frac{2(\vec{a}+ \vec{b})+ 1\times\frac{\vec{a}}{2}}{2+ 1}=\frac{5\vec{a}+ 4\vec{b}}{6}$
したがって
$\rm{\vec{OE}}=\frac{5\vec{a}+ 4\vec{b}}{6}$ ･･･（答）

（別解）
$\rm{\vec{OE}=\vec{OD}+\vec{DE}}=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{2}{3}(\frac{1}{2}\vec{a}+\vec{b})$
$=\frac{5\vec{a}+ 4\vec{b}}{6}$ ･･･（答）

(2)
FはOE上にあるから
$\rm{\vec{OF}}=s\rm{\vec{OE}}$
$=s\big(\frac{5\vec{a}+ 4\vec{b}}{6}\big)$ 　（sは実数）･･･①
また，FはAC上にもあるから
$\rm{\vec{OF}}=\rm{\vec{OA}}+ t\rm{\vec{AC}}$
$=\vec{a}+ t\vec{b}$ （tは実数）･･･②

【ベクトルの一次独立 ⇒ 2直線の交点の求め方】
$\vec{a}\ne\vec{0},\hspace{3}\vec{b}\ne\vec{0}$ かつ $\vec{a}$ ∦ $\vec{b}$ のとき
$s\vec{a}+ t\vec{b}=\vec{0}$ ⇔ $s=0,\hspace{5}t=0$ ･･･(#1)
$s_1\vec{a}+ t_1\vec{b}=s_2\vec{a}+ t_2\vec{b}$ ⇔ $s_1=s_2,\hspace{5}t_1=t_2$ ･･･(#2)

①②において， $\vec{a}\ne\vec{0},\hspace{3}\vec{b}\ne\vec{0}$ かつ $\vec{a}$ ∦ $\vec{b}$ だから

$\frac{5}{6}s=1$
$\frac{4}{6}s=t$
この連立方程式を解くと
$s=\frac{6}{5},\hspace{3}t=\frac{4}{5}$
②に戻すと
$\rm{\vec{OF}}=\vec{a}+\frac{4}{5}\vec{b}$ ･･･（答）

(3)
$\rm{\vec{AE}}=\frac{5\vec{a}+ 4\vec{b}}{6}-\vec{a}=\frac{-\vec{a}+ 4\vec{b}}{6}$
$\rm{\mid\vec{AE}\mid^2}=\frac{1}{36}\big(\mid\vec{a}\mid^2-8\vec{a}\cdot\vec{b}+ 16\mid\vec{b}\mid^2\big)$
$=\frac{1}{36}\big(16-8\times 4\times 3\times\frac{1}{2}+ 16\times 9\big)=\frac{112}{36}=\frac{28}{9}$
$\rm{\mid\vec{AE}\mid}=\sqrt{\frac{28}{9}}=\frac{2\sqrt{7}}{3}$ ･･･（答）
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♤♧～角の二等分線～♫♬

【角の二等分線定理】
ADが∠Aの二等分線であるとき
BD:DC=BA:AC
が成り立つ．

【問題9】★★
　平面上に三角形OABと点Pがある． $\rm{\vec{OA}}=\vec{a},\hspace{2}\rm{\vec{OB}}=\vec{b},$
$\rm{\vec{OP}}=\vec{p}$ とおく．線分OPが∠AOBを二等分し， $\mid\vec{a}\mid=1,\hspace{4}\mid\vec{b}\mid=3,\hspace{4}\mid\vec{p}\mid=4,\hspace{4}\vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{3}{8}$ のとき，以下の問いに答えよ．
(1)　θ=∠AOPとするとき，cosθの値を求めよ．
(2)　 $\vec{p}=s\vec{a}+ t\vec{b}$ を満たす実数s, tを求めよ．

(2021年度日本女子大学入試問題)

解説を読む

（解答）

《角の二等分線定理を使う答案》
(1)(2)
OPとABの交点をDとすると，角の二等分線定理により
$\rm{\vec{OD}}=\frac{3\vec{a}+ \vec{b}}{4}$
$\vec{p}=t\rm{\vec{OD}}=t\times\frac{3\vec{a}+ \vec{b}}{4}$ ･･･①
ここで，問題の仮定により $\mid\vec{p}\mid=4$ だから
$\mid\vec{p}\mid^2=\frac{t^2}{16}\big(9\mid\vec{a}\mid^2+ 6\vec{a}\cdot\vec{b}+\mid\vec{b}\mid^2\big)$
$=\frac{t^2}{16}\big(9+ 6\times\frac{3}{8}+ 9\big)=\frac{81}{64}t^2$
$\mid\vec{p}\mid=\frac{9}{8}t=4$
$t=\frac{32}{9}$
①に戻すと
$\vec{p}=\frac{\underset{\cancel{32}}{8}}{9}\times\frac{3\vec{a}+ \vec{b}}{\cancel{4}}=\frac{8}{3}\vec{a}+\frac{8}{9}\vec{b}$ ･･･（答）
次に（cosθを求める）
$\vec{a}\cdot\vec{p}=\frac{8}{3}\mid\vec{a}\mid^2+\frac{8}{9}\vec{a}\cdot\vec{b}$
$=\frac{8}{3}+\frac{8}{9}\times\frac{3}{8}=3$ ･･･②
他方，問題の仮定により
$\vec{a}\cdot\vec{p}=\mid\vec{a}\mid\times\mid\vec{p}\mid\times\cos\theta=4\cos\theta$ ･･･③
②③より
$4\cos\theta=3$
$\cos\theta=\frac{3}{4}$ ･･･（答）

別解《２倍角公式を使う答案》
(1)
$\vec{a}\cdot\vec{b}=\frac{3}{8}$ だから
$\mid\vec{a}\mid\cdot\mid\vec{b}\mid\cos 2\theta=\frac{3}{8}$
$1\times 3\times\cos 2\theta=\frac{3}{8}$
$\cos 2\theta=\frac{1}{8}$
余弦の２倍角公式により
$\cos 2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta=2\cos^2\theta-1$ だから
$2\cos^2\theta-1=\frac{1}{8}$
$2\cos^2\theta=\frac{9}{8}$
$\cos^2\theta=\frac{9}{16}$
$\cos\theta=\frac{3}{4}\hspace{5}(\gt 0)$ ･･･（答）
(2)
$\vec{p}=s\vec{a}+ t\vec{b}$ とおくと
$\vec{p}\cdot\vec{a}=s\mid\vec{a}\mid^2+ t\vec{b}\cdot\vec{a}$
$4\times 1\times\frac{3}{4}=s+ t\times\frac{3}{8}$
$3=s+\frac{3}{8}t$ ･･･(#1)
また
$\vec{p}\cdot\vec{b}=s\vec{a}\cdot\vec{b}+ t\mid\vec{b}\mid^2$
$4\times 3\times\frac{3}{4}=s\frac{3}{8}+ t\times 9$
$9=\frac{3}{8}s+ 9t$ ･･･(#2)
(#1)(#2)の連立方程式を解くと
$s=\frac{8}{3},\hspace{3}t=\frac{8}{9}$
$\vec{p}=\frac{8}{3}\vec{a}+\frac{8}{9}\vec{b}$ ･･･（答）
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♠♣～ベクトルの大きさ～♥♦

【問題10】★★★
　異なる３つの点P, Q, Rが原点Oを中心とする半径1の円C上にあり， $\rm{2\vec{OP}+(\sqrt{3}-1)\vec{OQ}+\sqrt{6}\vec{OR}=\vec{0}}$ を満たしている．ここで，点Pの座標は(1, 0)であり，点Qは第1象限にあるとする．また，△PQRの重心をGとし， $\vec{g}=\rm{\vec{OG}}$ とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1)　∠QOR, ∠ROPを求めよ．
(2)　△PQRの面積を求めよ．
(3)　動点Sが円C上の点全体を動くとし， $\vec{s}=\rm{\vec{OS}}$ とおく．このとき， $\rm{\mid\vec{PS}\mid^2+\mid\vec{QS}\mid^2+\mid\vec{RS}\mid^2}$ を $\vec{g}$ と $\vec{s}$ を用いて表せ．
(4)　動点Sが円C上の点全体を動くとき， $\rm{\mid\vec{PS}\mid^2+\mid\vec{QS}\mid^2+\mid\vec{RS}\mid^2}$ の最大値を $\mid\vec{g}\mid$ を用いて表せ．

(2021年度同志社大学入試問題)

解説を読む

（解答）

A) ベクトルのままで内積の計算を行い，cos(∠QOR)などの連立方程式を解く方法
B) 成分表示に直して，未知数がやや多めの連立方程式を解く方法等が考えられるが，いずれも容易ではない．
ここでは，C) 辺の長さを手掛かりとして，余弦定理で解く方法を考えてみる.

$\rm{(\sqrt{3}-1)\vec{OQ}+\sqrt{6}\vec{OR}=-2\vec{OP}}$
において，
$\rm{|\vec{OP}|=1,\hspace{3}|\vec{OQ}|=1,\hspace{3}|\vec{OR}|=1}$
だから，右図のように点OP'R'をとると
$\rm{\vec{OP\apos}=-2\vec{OP},\hspace{5}|\vec{OP\apos}|=2}$
$\rm{\vec{OR\apos}=\sqrt{6}\vec{OR},\hspace{5}|\vec{OR\apos}|=\sqrt{6}}$
$\rm{\vec{R\apos P\apos}=(\sqrt{3}-1)\vec{OQ},\hspace{5}|\vec{R\apos P\apos}|=\sqrt{3}-1}$
そこで，△OP'R'について，余弦定理を用いて，内角の大きさを求める
cos(∠OP'R')= $\frac{2^2+(\sqrt{3}-1)^2-(\sqrt{6})^2}{2\times 2\times(\sqrt{3}-1)}=-\frac{1}{2}$
∠OP'R'=120°
cos(∠OR'P')= $\frac{(\sqrt{6})^2+(\sqrt{3}-1)^2-2^2}{2\times\sqrt{6}\times(\sqrt{3}-1)}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
∠OR'P'=45°
したがって
∠R'OP'=15°
∠QOP'=120°, ∠R'OP'=15°だから
　∠QOR=135°･･･（答）
　∠ROP=165°･･･（答）

(2)
$\rm{\Delta PQR=\Delta OPQ+\Delta OQR+\Delta ORP}$
$=\frac{1}{2}\times 1\times 1\times \sin 135^{\circ}+\frac{1}{2}\times 1\times 1\times \sin 165^{\circ}+\frac{1}{2}\times 1\times 1\times \sin 60^{\circ}$
$=\frac{1}{2}(\sin 135^{\circ}+\sin 165^{\circ}+\sin 60^{\circ})$
ここで
$\sin 135^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2},\hspace{5}\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin 165^{\circ}=\sin(120^{\circ}+ 45^{\circ})=\sin 120^{\circ}\cos 45^{\circ}+\cos 120^{\circ}\sin 45^{\circ}$
$=\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$
$\rm{\Delta PQR}=\frac{1}{2}\big{\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}\big}$
$=\frac{1}{2}\big{\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}-\sqrt{2}+ 2\sqrt{3}}{4}\big}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}+ 2\sqrt{3}}{8}$ ･･･（答）

(3)
$\vec{s}=\rm{\vec{OS}}$ の他に， $\vec{p}=\rm{\vec{OP}},\hspace{3}\vec{q}=\rm{\vec{OQ}},\hspace{3}\vec{r}=\rm{\vec{OP}}$ とおくと，
$\rm{\mid\vec{PS}\mid^2+\mid\vec{QS}\mid^2+\mid\vec{RS}\mid^2}$
$=|\vec{s}-\vec{p}|^2+|\vec{s}-\vec{q}|^2+|\vec{s}-\vec{r}|^2$
$=|\vec{s}|^2-2\vec{s}\cdot\vec{p}+|\vec{p}|^2+|\vec{s}|^2-2\vec{s}\cdot\vec{q}+|\vec{q}|^2+|\vec{s}|^2-2\vec{s}\cdot\vec{r}+|\vec{r}|^2$
$=6-2\vec{s}(\vec{p}+\vec{q}+\vec{r})$
ここで
$\vec{g}=\frac{\vec{p}+\vec{q}+\vec{r}}{3}$
だから
$\vec{p}+\vec{q}+\vec{r}=3\vec{g}$
結局
$\rm{\mid\vec{PS}\mid^2+\mid\vec{QS}\mid^2+\mid\vec{RS}\mid^2}=6-6\vec{s}\cdot\vec{g}$ ･･･（答）

(4)
2つのベクトル $\vec{s},\hspace{3}\vec{g}$ のなす角をθとおくと， $\mid\vec{s}\mid=1,\hspace{3}\vec{s}\cdot\vec{g}=\mid\vec{s}\mid\cdot\mid\vec{g}\mid\cos\theta=\mid\vec{g}\mid\cos\theta$ だから
$6-6\vec{s}\cdot\vec{g}\underset{=}{\lt}6+ 6\mid\vec{g}\mid$
等号は，θ=180°のとき
したがって，最大値は $6+ 6\mid\vec{g}\mid$ ･･･（答） →解説を隠す←

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