文字式を含む根号計算

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== 文字式を含む根号計算 ==

【基本1】
$\sqrt{a^2}=|a|$

【例1】

$\sqrt{(a-1)^2}=|a-1|=$

−(a−1)（a<1のとき）
a−1（a≧1のとき）

【例2】

$\sqrt{(a+ 1)^2}=|a+ 1|=$

−a−1（a<−1のとき）
a+1（a≧−1のとき）

※ほとんどの問題は，古い時代（昭和の頃）の入試問題の引用ですが，大学・年度が分からないものが多く，以下の問題では引用元を明示していません．（どの問題集にも孫引きの孫引きのような形で，ありふれた形で掲載されているものですが，問題としては一度はやっておく方がよい良問と言えるでしょう）

【問題1】
$x=a^2+ 1$ （aは実数）とするとき，次の式を簡単にしてください．
$\sqrt{x+ 2a}+\sqrt{x-2a}$

［解答を見る］

$\sqrt{a^2+ 1+ 2a}+\sqrt{a^2+ 1-2a}$
$=\sqrt{(a+ 1)^2}+\sqrt{(a-1)^2}$

(1) ここで，数研チャートなどで有名な，次の注意事項を思い出しましょう

$A\underset{=}{\gt}0$ のとき $\sqrt{A^2}=A$
$A\lt 0$ のとき $\sqrt{A^2}=-A$

　要するに
$\sqrt{A^2}$ は，単純にAになるのではなくて，Aが負の数の場合があるから，|A|に等しいということ

（原式）=|a+1|+|a−1|

(2)　２つの絶対値記号|a|と|b|（ただし，a<bとする）を同時に外すには，３つの区間
x<a, a≦x<b, b≦xに分けたらよい

ア） a<−1のとき
−a−1−(a−1)=−2a
イ） −1≦a<1のとき
a+1−(a−1)=2
ウ） 1≦aのとき
a+1+(a−1)=2a
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【問題2】
$x=\frac{1}{2}(a+\frac{1}{a})$ （a>0）とするとき，次の式をaで表してください．
$x+ \sqrt{x^2-1}$

［解答を見る］

$\sqrt{x^2-1}=\sqrt{\frac{1}{4}(a^2+ 2+\frac{1}{a^2})-1}$
$=\sqrt{\frac{a^4+ 2a^2+ 1-4a^2}{4a^2}}=\sqrt{\frac{a^4-2a^2+ 1}{4a^2}}$
a>0だから
$=\frac{|a^2-1|}{2a}$
ア） 0<a<1のとき
　（原式）= $\frac{1}{2}(a+\frac{1}{a})+\frac{1-a^2}{2a}$
$=\frac{a^2+ 1+ 1-a^2}{2a}=\frac{2}{2a}=\frac{1}{a}$
イ） 1≦aのとき
　（原式）= $\frac{1}{2}(a+\frac{1}{a})+\frac{a^2-1}{2a}$
$=\frac{a^2+ 1+ a^2-1}{2a}=\frac{2a^2}{2a}=a$
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【問題3】
$x=\frac{2a}{1+ a^2}$ とするとき，次の式をaで表してください．
$\frac{\sqrt{1+ x}-\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+ x}+\sqrt{1-x}}$

［解答を見る］

$\sqrt{1+ x}=\sqrt{1+\frac{2a}{1+ a^2}}=\sqrt{\frac{1+ a^2+ 2a}{1+ a^2}}$
$=\sqrt{\frac{(a+ 1)^2}{1+ a^2}}=\frac{|a+ 1|}{\sqrt{1+ a^2}}$

$\sqrt{1-x}=\sqrt{1-\frac{2a}{1+ a^2}}=\sqrt{\frac{1+ a^2-2a}{1+ a^2}}$
$=\sqrt{\frac{(a-1)^2}{1+ a^2}}=\frac{|a-1|}{\sqrt{1+ a^2}}$

（原式）= $\frac{\frac{|a+ 1|}{\sqrt{1+ a^2}}-\frac{|a-1|}{\sqrt{1+ a^2}}}{\frac{|a+ 1|}{\sqrt{1+ a^2}}+\frac{|a-1|}{\sqrt{1+ a^2}}}$

$=\frac{|a+ 1|-|a-1|}{|a+ 1|+|a-1|}$
ア） a<−1のとき
$\frac{-(a+ 1)+(a-1)}{-(a+ 1)-(a-1)}=\frac{-2}{-2a}=\frac{1}{a}$
イ） −1≦a<1のとき
$\frac{(a+ 1)+(a-1)}{(a+ 1)-(a-1)}=\frac{2a}{2}=a$
ウ） 1≦aのとき
$\frac{(a+ 1)-(a-1)}{(a+ 1)+(a-1)}=\frac{2}{2a}=\frac{1}{a}$
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【問題4】
$x=\frac{1+ a^2}{a},\hspace{3}a\gt 0$ とするとき，次の式をaで表してください．
$\frac{\sqrt{x+ 2}+\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+ 2}-\sqrt{x-2}}$

［解答を見る］

$\sqrt{x+ 2}=\sqrt{\frac{1+ a^2}{a}+ 2}=\sqrt{\frac{1+ a^2+ 2a}{a}}$
$=\sqrt{\frac{(a+ 1)^2}{a}}=\frac{|a+ 1|}{\sqrt{a}}$

$\sqrt{x-2}=\sqrt{\frac{1+ a^2}{a}-2}=\sqrt{\frac{1+ a^2-2a}{a}}$
$=\sqrt{\frac{(a-1)^2}{a}}=\frac{|a-1|}{\sqrt{a}}$

（原式）= $\frac{ \frac{|a+ 1|}{\sqrt{a}}+\frac{|a-1|}{\sqrt{a}}}{\frac{|a+ 1|}{\sqrt{a}}-\frac{|a-1|}{\sqrt{a}}}$
$=\frac{|a+ 1|+|a-1|}{|a+ 1|-|a-1|}$
ア） 0<a<1のとき
$\frac{(a+ 1)+(-a+ 1)}{(a+ 1)-(-a+1)}=\frac{2}{2a}=\frac{1}{a}$
イ） 1≦aのとき
$\frac{(a+ 1)+(a-1)}{(a+ 1)-(a-1)}=\frac{2a}{2}=a$
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【問題5】

$\sqrt{x}=\frac{1}{2}(1-a),\hspace{3}a\underset{=}{\lt}1$ とするとき，次の式を簡単にしてください．
$\sqrt{x+ a}-\sqrt{x-a+ 2}$

［解答を見る］

$x+ a=\frac{(1-a)^2}{4}+ a=\frac{a^2+ 2a+ 1}{4}=\frac{(a+ 1)^2}{4}$
$\sqrt{x+ a}=\frac{|a+ 1|}{2}$

$x-a+ 2=\frac{(1-a)^2}{4}-a+ 2=\frac{a^2-2a+ 1-4a+ 8}{4}$
$=\frac{a^2-6a+ 9}{4}=\frac{(a-3)^2}{4}$
$\sqrt{x-a+ 2}=\frac{|a-3|}{2}$

（原式） $=\frac{|a+ 1|}{2}-\frac{|a-3|}{2}$

ア） a<−1のとき
$\frac{-(a+ 1)}{2}+\frac{(a-3)}{2}=-2$
イ） −1≦a≦1のとき
$\frac{(a+ 1)}{2}+\frac{(a-3)}{2}=a-1$
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【問題6】

$\sqrt{x}=\sqrt{a}+\frac{1}{\sqrt{a}},\hspace{3}a\gt0$ とするとき，次の式を簡単にしてください．
$\frac{x-2+\sqrt{x^2-4x}}{x-2-\sqrt{x^2-4x}}$

［解答を見る］

$x=a+\frac{1}{a}+ 2=\frac{a^2+ 2a+ 1}{a}=\frac{(a+ 1)^2}{a}$

$x^2-4x=\frac{(a+ 1)^4}{a^2}-4\frac{(a+ 1)^2}{a}$
$=\frac{(a+ 1)^4-4a(a+ 1)^2}{a^2}$
$=\frac{(a+ 1)^2\{(a+ 1)^2-4a\}}{a^2}$
$=\frac{(a+ 1)^2(a^2-2a+ 1)}{a^2}$
$=\frac{(a+ 1)^2(a-1)^2}{a^2}=\frac{(a^2-1)^2}{a^2}$

$\sqrt{x^2-4x}=\frac{|a^2-1|}{a}$

（原式） $=\frac{\frac{(a+ 1)^2}{a}-2+\frac{|a^2-1|}{a}}{\frac{(a+ 1)^2}{a}-2-\frac{|a^2-1|}{a}}$
$=\frac{(a+ 1)^2-2a+|a^2-1|}{(a+ 1)^2-2a-|a^2-1|}$
$=\frac{a^2+ 1+|a^2-1|}{a^2+ 1-|a^2-1|}$

ア） 0<a<1のとき， $a^2\lt 1$ だから
（原式） $=\frac{a^2+ 1-(a^2-1)}{a^2+ 1+(a^2-1)}=\frac{2}{2a^2}=\frac{1}{a^2}$
イ） 1≦aのとき， $a^2\underset{=}{\gt}1$ だから
（原式） $=\frac{a^2+ 1+(a^2-1)}{a^2+ 1-(a^2-1)}=\frac{2a^2}{2}=a^2$
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【基本2】
$\sqrt{a+ 2\sqrt{b}}$
は，st=b, s+t=aとなる正の数s, tが見つかれば
$\sqrt{a+ 2\sqrt{b}}=\sqrt{s}+\sqrt{t}$
と変形できる．
また
$\sqrt{a-2\sqrt{b}}$
は，st=b, s+t=a, s>tとなる正の数s, tが見つかれば
$\sqrt{a-2\sqrt{b}}=\sqrt{s}-\sqrt{t}$
と変形できる．

【問題7】

　a>0のとき，次の式を簡単にしてください．
$\sqrt{a+ 1+ 2\sqrt{a}}$

［解答を見る］

aと1の積はa，和はa+1となるから
$\sqrt{a+ 1+ 2\sqrt{a}}=\sqrt{a}+\sqrt{1}=\sqrt{a}+ 1$
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【問題8】

　a≧0のとき，次の式を簡単にしてください．
$\sqrt{2a+ 1-2\sqrt{a^2+ a}}$

［解答を見る］

$a\times(a+ 1)=a(a+ 1)$
$a+(a+ 1)=2a+ 1$
a≧0のとき， $a+ 1\gt a\underset{=}{\gt}0$

だから
$\sqrt{2a+ 1-2\sqrt{a^2+ a}}=\sqrt{a+ 1}-\sqrt{a}$
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【問題9】

　x≧0のとき，次の式を簡単にしてください．
$\sqrt{x^2+ 2+2\sqrt{x^3+ 1}}$

［解答を見る］

$(x+ 1)\times(x^2-x+ 1)=x^3+ 1$
$(x+ 1)+(x^2-x+ 1)=x^2+ 2$
x≧0のとき， $x+ 1,\hspace{4}x^2-x+ 1\gt 0$

だから
$\sqrt{x^2+ 2+\sqrt{x^3+ 1}}=\sqrt{x+ 1}+\sqrt{x^2-x+ 1}$
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【問題10】

　 $x=2\sqrt{a-1},\hspace{5}a\gt 1$ のとき，次の式をxで表してください．
$\frac{\sqrt{a+ x}+\sqrt{a-x}}{\sqrt{a+ x}-\sqrt{a-x}}$

［解答を見る］

$\sqrt{a+ x}=\sqrt{a+2\sqrt{a-1}}=\sqrt{a-1}+ 1$
$\sqrt{a-x}=\sqrt{a-2\sqrt{a-1}}$
ここで，a−1<1 ⇔ (1<)a<2により
ア） 1<a<2のとき， $\sqrt{a-1}\lt 1$ だから
$\sqrt{a-2\sqrt{a-1}}=1-\sqrt{a-1}$
イ） 2≦aのとき， $\sqrt{a-1}\underset{=}{\gt}1$ だから
$\sqrt{a-2\sqrt{a-1}}=\sqrt{a-1}-1$
したがって
ア） 1<a<2のとき
（原式） $=\frac{\sqrt{a-1}+ 1+ 1-\sqrt{a-1}}{\sqrt{a-1}+ 1-1+\sqrt{a-1}}=\frac{2}{2\sqrt{a-1}}=\frac{2}{x}$
イ） 2≦aのとき
（原式） $=\frac{\sqrt{a-1}+ 1+\sqrt{a-1}-1}{\sqrt{a-1}+ 1-\sqrt{a-1}+ 1}=\frac{2\sqrt{a-1}}{2}=\frac{x}{2}$
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【問題11】

　x≧1のとき，次の式を簡単にしてください．
$\sqrt{2x^2-1-2x\sqrt{x^2-1}}$

［解答を見る］

$\sqrt{2x^2-1-2x\sqrt{x^2-1}}=\sqrt{2x^2-1-2\sqrt{x^2(x^2-1)}}$
ここで

$x^2\times(x^2-1)=x^2(x^2-1)$
$x^2+(x^2-1)=2x^2-1$
x≧1のとき， $x^2\gt(x^2-1)\underset{=}{\gt}0$

だから
$\sqrt{2x^2-1-2\sqrt{x^2(x^2-1)}}=\sqrt{x^2}-\sqrt{x^2-1}$
$=x-\sqrt{x^2-1}$
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【問題12】
　a≧1のとき，次の式を簡単にしてください．
$\sqrt{a+ 8+ 6\sqrt{a-1}}-\sqrt{a+ 8-6\sqrt{a-1}}$

［解答を見る］

$\sqrt{a+ 8+ 6\sqrt{a-1}}-\sqrt{a+ 8-6\sqrt{a-1}}$
$=\sqrt{a+ 8+ 2\sqrt{9(a-1)}}-\sqrt{a+ 8-2\sqrt{9(a-1)}}$
ここで，9×(a−1)=9×(a−1), 9+(a−1)=a+8
また，9>(a−1) ⇔ a<10だから
ア） 1≦a<10のとき
（原式） $=\sqrt{9}+\sqrt{a-1}-(\sqrt{9}-\sqrt{a-1})=2\sqrt{a-1}$
イ） 10≦aのとき
（原式） $=\sqrt{9}+\sqrt{a-1}-(\sqrt{a-1}-\sqrt{9})=6$
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【問題13】
　|a|<1のとき，次の式を簡単にしてください．
$\sqrt{1+ \sqrt{1-a^2}}+\sqrt{1-\sqrt{1-a^2}}$

［解答を見る］

（原式） $=\sqrt{\frac{2+ 2\sqrt{1-a^2}}{2}}+\sqrt{\frac{2-2\sqrt{1-a^2}}{2}}$
$=\frac{\sqrt{2+ 2\sqrt{1-a^2}}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{2-2\sqrt{1-a^2}}}{\sqrt{2}}$
ここで

$(1-a)(1+ a)=1-a^2$
$(1-a)+(1+ a)=2$
また
1−a≦1+a ⇔ 0≦a

ア） −1<a<0のとき，1−a>1+aだから
（原式） $=\frac{\sqrt{1-a}+\sqrt{1+ a}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{1-a}-\sqrt{1+ a}}{\sqrt{2}}$
$=\frac{2\sqrt{1-a}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2(1-a)}$
イ） 0≦a<1のとき，1−a≦1+aだから
（原式） $=\frac{\sqrt{1-a}+\sqrt{1+ a}}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{1+ a}-\sqrt{1-a}}{\sqrt{2}}$
$=\frac{2\sqrt{1+ a}}{\sqrt{2}}=\sqrt{2(1+ a)}$
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