２次曲線と直線

→ 携帯版は別頁

=== 読者が配色を変更したい場合 ===
◎外側の色を変えるには，次の色をクリック

◎内側の色を変えるには，次の色をクリック

◎標準文字色を変えるには，次の色をクリック

=傾きや曲線外の１点が与えられたときの接線の方程式=

(1) 楕円
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
の接線のうちで，傾きがmに等しい接線の方程式は
$y=mx\pm\sqrt{a^2m^2+ b^2}$ ･･･(1)
(2) 双曲線
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$
の接線のうちで，傾きがmに等しい接線の方程式は
$y=mx\pm\sqrt{a^2m^2-b^2}$ ･･･(2a)
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$
の接線のうちで，傾きがmに等しい接線の方程式は
$y=mx\pm\sqrt{b^2-a^2m^2}$ ･･･(2b)
(3) 放物線
$y^2=4px$
の接線のうちで，傾きがm (≠0)に等しい接線の方程式は
$y=mx+\frac{p}{m}$ ･･･(3)

（証明）

(1)←
求める接線の方程式を $y=mx+ k$ とおき，連立方程式

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ･･･(1)
$y=mx+ k$ ･･･(2)
がx座標について重解をもつように，判別式についてD=0となる条件を求めるとよい．
(2)を(1)に代入すると
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{(mx+ k)^2}{b^2}=1$
$b^2x^2+ a^2(m^2x^2+ 2mkx+ k^2)=a^2b^2$
$(a^2m^2+ b^2)x^2+ 2a^2mkx+ a^2k^2-a^2b^2=0$
$D\apos=a^4m^2k^2-(a^2m^2+ b^2)(a^2k^2-a^2b^2)$
$=\sout{a^4m^2k^2}-\sout{a^4m^2k^2}+ a^4m^2b^2-a^2b^2k^2+ a^2b^4$
$=a^2b^2(a^2m^2-k^2+ b^2)=0$
ここで $a^2b^2\ne 0$ だから
$k^2=a^2m^2+ b^2$
$k=\pm\sqrt{a^2m^2+ b^2}$ ･･･(1)証明終■

(2a)←
求める接線の方程式を $y=mx+ k$ とおき，連立方程式

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ･･･(3)
$y=mx+ k$ ･･･(4)
がx座標について重解をもつように，判別式についてD=0となる条件を求めるとよい．
(4)を(3)に代入すると
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{(mx+ k)^2}{b^2}=1$
$b^2x^2-a^2(m^2x^2+ 2mkx+ k^2)=a^2b^2$
$(a^2m^2-b^2)x^2+ 2a^2mkx+ a^2b^2+ a^2k^2=0$
$D\apos=a^4m^2k^2-(a^2m^2-b^2)(a^2b^2+ a^2k^2)$
$=\sout{a^4m^2k^2}-a^4m^2b^2-\sout{a^4m^2k^2}+ a^2b^4+ a^2b^2k^2$
$=a^2b^2(-a^2m^2+ b^2+ k^2)=0$
ここで $a^2b^2\ne 0$ だから
$k^2=a^2m^2-b^2$
$k=\pm\sqrt{a^2m^2-b^2}$ ･･･(2a)証明終■
(2b)も，同様にして証明できる．

(3)←
求める接線の方程式を $y=mx+ k$ とおき，連立方程式

$y^2=4px$ ･･･(5)
$y=mx+ k$ ･･･(6)
がx座標について重解をもつように，判別式についてD=0となる条件を求めるとよい．
(6)を(5)に代入すると
$(mx+ k)^2=4px$
$m^2x^2+ 2(mk-2p)x+ k^2=0$
$D\apos=(mk-2p)^2-m^2k^2=-4p(mk-p)=0$
ここで $m,\hspace{2}p\ne 0$ だから
$k=\frac{p}{m}$ ･･･(3)証明終■

【例題1.1】

　楕円 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ の接線で傾きが2に等しいものの方程式を求めてください．

（解答）
公式(1)に $a=2,\hspace{2}b=3,\hspace{2}m=2$ を代入すると
$y=2x\pm 5$ ･･･（答）
※公式を覚えていなくても，判別式を使って自分で計算すれば数分でできる．

【例題1.2】

　楕円 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1$ の互いに垂直な２つの接線の交点の軌跡を求めてください．

（解答）

$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{16}=1$ の傾きmの接線の方程式を $y=mx+ k$ とおくと，(1)の公式により
$y=mx\pm\sqrt{9m^2+ 16}$ ･･･①
が成り立つ．①を満たす２つのmの値を，m1, m2とすると，m1, m2は，mに関する２次方程式
$(y-mx)^2=9m^2+ 16$
の２つの解になる．
$(x^2-9)m^2-2xym+ (y^2-16)=0$ ･･･②
②式が異なる２つの実数解m1, m2をもつとき，解と係数の関係から
ア）座標軸に平行な接線があるときは，接線の方程式は， $x=\pm 3,\hspace{2}y=\pm 4$ で，交点の座標は $(\pm 3,\hspace{2}\pm 4)$
イ）座標軸に平行な接線ではないとき，交点のx座標はx≠±3
$m_1m_2=\frac{y^2-16}{x^2-9}=-1$
$y^2-16=-x^2+ 9$
$x^2+ y^2=9+ 16=25$
ア）はイ）の円上のx=±3となる除外点を埋めているから，結局， $x^2+ y^2=25$ の円全体が軌跡になる．･･･（答）

【例題1.3】

　楕円 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ と傾き2の直線が異なる２点で交わるとき，２交点の中点の軌跡を求めてください．

（解答）
　連立方程式

$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ ･･･(1)
$y=2x+ k$ ･･･(2)
が異なる２つの実数解をもつように，交点のx座標の判別式についてD>0とする．
　(2)を(1)に代入すると
$\frac{x^2}{4}+\frac{(2x+ k)^2}{9}=1$
$9x^2+ 4(2x+ k)^2=36$
$25x^2+ 16kx+ (4k^2-36)=0$ ･･･(3)
$D\apos=(8k)^2-25(4k^2-36)$
$=36(25-k^2)\gt 0$
　異なる２点で交わるのは
$-5\lt k\lt 5$ ･･･(4)のとき
　このとき，２交点の座標を $(x_1,\hspace{2}y_1),\hspace{2}(x_2,\hspace{2}y_2)$ ，その中点の座標を $(x,\hspace{2}y)$ とおくと，(3)の解と係数の関係から
$x=\frac{x_1+ x_2}{2}=-\frac{8}{25}k$ ･･･(5)
$y=2x+ k=-\frac{16}{25}k+ k=\frac{9}{25}k$ ･･･(6)
(5)(6)から求める軌跡の方程式は
$y=-\frac{9}{8}x$
ただし，(4)から，
$-\frac{8}{5}\lt x\lt\frac{8}{5}$
の範囲･･･（答）

【例題1.4】

　点(3, 4)から楕円 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$ に引いた接線の方程式を求めてください．

（解答）
　接点(3, 0)で接する接線x=3は題意に適する．
　x軸に垂直でない接線の方程式を，(1)を使って， $y=mx\pm\sqrt{9m^2+ 4}$ とおくと，この直線が点(3, 4)を通るには
$4=3m\pm\sqrt{9m^2+ 4}$
$(4-3m)^2=9m^2+ 4$
$16-24m+ 9m^2=9m^2+ 4$
$-12m=-12$
$m=\frac{1}{2}$
求める接線の方程式は
$y=\frac{1}{2}x\pm\sqrt{\frac{9}{4}+ 4}=\frac{1}{2}x\pm\sqrt{\frac{25}{4}}$
$=\frac{1}{2}x\pm\frac{5}{2}$

　これらのうちで， $y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$ は点(3, 4)を通るが， $y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}$ は点(3, 4)を通らない．
$x=3,\hspace{5}y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}$ ･･･（答）

【例題1.5】

　楕円 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ 上の１点から，直線y=2x+6に降ろした垂線の長さの最小値を求めてください．

（解答）
傾き2で楕円 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1$ に接する接線の方程式を $y=2x\pm\sqrt{2^2\times 2^2+ 9}=2x\pm 5$ とおく．この直線上の適当な点，例えば(0, 5), (0, −5)と直線y=2x+6 ⇔ 2x−y+6=0の距離を，公式
$\frac{|ax_1+ by_1+ c|}{\sqrt{a^2+ b^2}}$
のよって求めると
$\frac{|0-5+ 6|}{\sqrt{2^2+ 1^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}$
$\frac{|0+ 5+ 6|}{\sqrt{2^2+ 1^2}}=\frac{11}{\sqrt{5}}$
となるから，最小値は $\frac{1}{\sqrt{5}}$ ･･･（答）

【例題2.1】

　双曲線 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ の接線で傾きが2に等しいものの方程式を求めてください．

（解答）
公式(2a)を使うと
$y=2x\pm\sqrt{2^2\times 2^2-3^2}=2x\pm\sqrt{7}$ ･･･（答）

【例題2.2】

　双曲線 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ と直線y=2x+kが共有点をもつような定数kの値の範囲を求めてください．

（解答）
　連立方程式

$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ ･･･(1)
$y=2x+ k$ ･･･(2)
が実数解をもつように，判別式を用いてkの値の範囲を求める．
　(2)を(1)に代入すると
$\frac{x^2}{4}-\frac{(2x+ k)^2}{9}=1$
$9x^2-4(2x+ k)^2=36$
$7x^2+ 16kx+ (4k^2+ 36)=0$ ･･･(3)
$D\apos=(8k)^2-7(4k^2+ 36)$
$=36(k^2-7)\underset{=}{\gt}0$
$k^2-7\underset{=}{\gt}0$

$k\underset{=}{\lt}-\sqrt{7}$ または $k\underset{=}{\gt}\sqrt{7}$ ･･･（答）

【例題2.3】

　点(2, 4)から双曲線 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ に引いた接線の方程式を求めてください．

（解答）
　まず，x軸に垂直な直線x=2が接線であることが明らか．
　それ以外のy=mx+kの形の接線は，公式(2a)から
$y=mx\pm\sqrt{4m^2-9}$

$m\underset{=}{\lt}-\frac{3}{2}$ または $m\underset{=}{\gt}\frac{3}{2}$
と書ける．この接線が，点(2, 4)を通るから
$4-2m=\pm\sqrt{4m^2-9}$

ア） $m\underset{=}{\gt}\frac{3}{2}$ かつm≧2，すなわち，m≧2のとき
$4-2m=-\sqrt{4m^2-9}(\underset{=}{\lt}0)$
の両辺を２乗すると
$16-16m+ 4m\2=4m^2-9$
$16m=25$
$m=\frac{25}{16}(\lt 2)$
となって，条件を満たさない
イ） ( $m\underset{=}{\lt}-\frac{3}{2}$ または $m\underset{=}{\gt}\frac{3}{2}$ )かつm<2，すなわち， $m\underset{=}{\lt}-\frac{3}{2}$ または $\frac{3}{2}\underset{=}{\lt}m\lt 2$ のとき
$4-2m=\sqrt{4m^2-9}(\gt 0)$
の両辺を２乗すると
$16-16m+ 4m\2=4m^2-9$
$16m=25$
$(\frac{3}{2}\underset{=}{\lt})m=\frac{25}{16}(\lt 2)$
となって，条件に適する．
$y-4=\frac{25}{16}(x-2)$
$25x-16y+ 14=0$
以上から， $25x-16y+ 14=0,\hspace{5}x=2$ ･･･（答）

（別解）
接点の座標を(s, t)とおくと，接線の方程式は
$\frac{sx}{4}-\frac{ty}{9}=1$ ･･･(1)
この直線が点(2, 4)を通るから
$\frac{2s}{4}-\frac{4t}{9}=1$ ･･･(2)
また，(s, t)は双曲線上にあるから
$\frac{s^2}{4}-\frac{t^2}{9}=1$ ･･･(3)
(2)(3)を連立方程式として解くと［途中経過は各自で確かめてください］
$s=2,\hspace{2}t=0$ および $s=-\frac{50}{7},\hspace{2}t=-\frac{72}{7}$
これらを(1)に戻すと
$25x-16y+ 14=0,\hspace{5}x=2$ ･･･（答）

【例題2.4】

　双曲線 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ 上の任意の点Pにおける接線が２つの漸近線と交わる点をQ, Rとするとき，PQ=PRとなることを証明してください．

（解答）
　接点をP(s, t)とおくと，接線の方程式は
$\frac{sx}{4}-\frac{ty}{9}=1$ ･･･(1)
ただし，接点P(s, t)は双曲線上にあるから
$\frac{s^2}{4}-\frac{t^2}{9}=1$ ･･･(2)
$9s^2-4t^2=36$
$(3s-2t)(3s+ 2t)=36\hspace{5}(\ne 0)$ ･･･(2’)
が成り立つ．
　(1)と漸近線の方程式
$y=\frac{3}{2}x$ ･･･(3)
$y=-\frac{3}{2}x$ ･･･(4)
との交点の座標を求める．

(1)(3)から

$\frac{sx}{4}-\frac{ty}{9}=1$ ･･･(1)
$y=\frac{3}{2}x$ ･･･(3)
(3)を(1)に代入
$\frac{sx}{4}-\frac{t}{9}\cdot\frac{3}{2}x=1$
$3sx-2tx=12$
$x_1=\frac{12}{3s-2t}$ ･･･(5)
･･･ (2’）により分母は0にならない．
これをQのx座標とする．

同様にして，(1)(4)から

$\frac{sx}{4}-\frac{ty}{9}=1$ ･･･(1)
$y=-\frac{3}{2}x$ ･･･(4)
(4)を(1)に代入
$\frac{sx}{4}-\frac{t}{9}\cdot(-\frac{3}{2}x)=1$
$3sx+ 2tx=12$
$x_2=\frac{12}{3s+ 2t}$ ･･･(6)
･･･ (2’）により分母は0にならない．
これをRのx座標とする．

(5)(6)からQ, Rの中点のx座標を求めると
$\frac{x_1+ x_2}{2}=\frac{1}{2}(\frac{12}{3s-2t}+\frac{12}{3s+ 2t})$
$=\frac{36s}{9s^2-4t^2}$
ところで，(2’)から
$9s^2-4t^2=36$
だから，結局
$\frac{x_1+ x_2}{2}=s$
が成り立つ．直線であるから，Q, Rの中点のx座標がPのx座標に等しければ，y座標についても成り立つ．
　以上により，PQ=PRが成り立つ．･･･証明終■

この問題では，双曲線 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$ について示したが，この性質は一般の双曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ についても示せる．

【例題2.5】

　双曲線 $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ 上の1点から直線y=x+1に降ろした垂線の長さの最小値を求めてください．

（解答）
公式(4.2a)により， $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ の接線のうちで，傾きが1に等しい接線の方程式は
$y=x\pm\sqrt{9-4}=x\pm\sqrt{5}$
（これらは右図の②③に対応する）
右図①に対応する直線y=x+1から②または③までの最短距離を求めるとよいが，②の方が短い．
そこで，y=x+1上の適当な１点，例えば(0, 1)から直線 $y=x+\sqrt{5}$ までの距離を求めると
$\frac{|0-1+\sqrt{5}|}{\sqrt{1^2+ 1^2}}=\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{10}-\sqrt{2}}{2}$ ･･･（答）

【例題3.1】

　放物線 $y^2=8x$ の接線で傾きが2に等しいものの方程式を求めてください．

（解答）
公式(3)において，p=2, m=2とすると
$y=2x+ 1$ ･･･（答）

【例題3.2】

　放物線 $y^2=8x$ の接線で傾きが2に等しいものの方程式を求めてください．

（解答）
公式(3)において，p=2, m=2とすると
$y=2x+ 1$ ･･･（答）

【例題3.3】

　放物線 $y^2=8x$ と傾き2の直線が異なる２点で交わるとき，２交点の中点の軌跡を求めてください．

（解答）
　連立方程式

$y^2=8x$ ･･･(1)
$y=2x+ k$ ･･･(2)
が異なる２つの実数解をもつように，判別式を用いてkの値の範囲を求める．
　また，そのとき，解と係数の関係を用いて，２交点の中点の座標を求める．
　(2)を(1)に代入する
$(2x+ k)^2=8x$
$4x^2+ 4(k-2)x+ k^2=0$ ･･･(3)
(3)について，判別式が正となる条件は
$D\apos=2^2(k-2)^2-4k^2=-16k+ 16\gt 0$
$k\lt 1$ ･･･(4)
　また，(3)について，解と係数の関係から，２交点の中点の座標は
$x=\frac{x_1+ x_2}{2}=-\frac{4(k-2)}{8}=-\frac{k-2}{2}$ ･･･(5)
$y=2x + k=2$
　なお，(4)(5)から， $x\gt\frac{1}{2}$
　以上により， $y=2\hspace{5}(x\gt\frac{1}{2})$ ･･･（答）

...（PC版）メニューに戻る