2次関数の最大最小(2)（数学Ⅰ/教科書レベル）

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(1)
　2次関数y=a(x−p)2+qのグラフは，2次関数y=ax2のグラフを

x軸方向にp，y軸方向にqだけ平行移動した放物線で，
軸の方程式はx=p，頂点の座標は(p, q)である．

a>0のとき

a<0のとき

(2)
　2次関数y=a(x−p)2+qは，

• a>0のとき，下に凸のグラフになる．
　x=pで最小値qをとり，最大値はない．
• a<0のとき，上に凸のグラフになる．
　x=pで最大値qをとり，最小値はない．

※「限りなく大きな値がある」とき「最大値はない」という．「限りなく小さな値がある」とき「最小値はない」という．

たとえば，「正の整数に最大値Nがある」と仮定すれば，N+1も正の整数でNよりも大きいから，「正の整数に最大値Nがある」という話は嘘だったことになる．このようにして，正の整数には最大値はないということが証明できる（この証明の仕方「背理法」は数学Bで習う）

※小学校の時に「円の対称軸は何本あるか？」という問題に「多数」と答えたら×をつけた先生がいた．「無数」を正解にしたいらしい．しかし「ない」と書けばこれも×のはず．「１つも無い」のと「多過ぎて数え切れ無い」のとは違う．

【例題1】
　次の2次関数の最大値または最小値を求めてください．また，そのときのxの値を求めてください．
　y=(x−1)2+2

（解答）
　右図のように，頂点の座標が(1, 2)の放物線で，グラフは下に凸になる．
　最大値なし
　x=1のとき最小値2をとる…（答）

採点するやり直す解説を読む

（解答）
　右図のように，頂点の座標が(3, 1)の放物線で，グラフは下に凸になる．
　最大値なし
　x=3のとき最小値1をとる…（答）
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採点するやり直す解説を読む

（解答）
　右図のように，頂点の座標が(−2, −3)の放物線で，グラフは下に凸になる．
　最大値なし
　x=−2のとき最小値−3をとる…（答）
→解説を隠す←

採点するやり直す解説を読む

（解答）
　右図のように，頂点の座標が(1, 4)の放物線で，グラフは上に凸になる．
　x=1のとき最大値4をとる
　最小値なし…（答）
→解説を隠す←

(3)
《定義域が限られたときの最大値・最小値》
　2次関数y=a(x−p)2+q (a>0)において，定義域がs≦x≦tのときの最大値M・最小値m

• 右図(A)のように，
定義域s≦x≦tが頂点よりも左側にあるとき
　x=sのとき最大値Mをとる
　x=tのとき最小値mをとる

頂点のx座標x=pは，定義域の中にないから，qは，最大値でもなく，最小値でもない

• 右図(B)のように，
定義域s≦x≦tの中に頂点があり，頂点が定義域の中央よりも右側にあるとき
　x=sのとき最大値Mをとる
　x=pのとき最小値m(=q)をとる

定義域の右端の値x=tのときは，最大値でもなく，最小値でもない

• 右図(C)のように，
定義域s≦x≦tの中に頂点があり，頂点が定義域の中央よりも左側にあるとき
　x=tのとき最大値Mをとる
　x=pのとき最小値m(=q)をとる

定義域の左端の値x=sのときは，最大値でもなく，最小値でもない

• 右図(D)のように，
定義域s≦x≦tが頂点よりも右側にあるとき
　x=tのとき最大値Mをとる
　x=sのとき最小値mをとる

頂点のx座標x=pは，定義域の中にないから，qは，最大値でもなく，最小値でもない

• 右図(E)のように，
定義域の左端の値と右端の値が等しいとき
　x=s, tのとき最大値Mをとる
　x=pのとき最小値m(=q)をとる

一番大きい値が２つ並んでいるとき，２つとも最大値とする

　a<0の場合は上に凸のグラフになるが，グラフを描いて同様に考えれば分かるはずなので，解説は省略

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（解答）
　右図のように，頂点の座標が(−2, −4)の放物線で，グラフは下に凸になる．
　x=1のとき最大値5
　x=−2のとき最小値−4…（答）
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（解答）
　右図のように，頂点の座標が(1, −4)の放物線で，グラフは下に凸になる．
　x=−3のとき最大値4
　x=−1のとき最小値−2…（答）
→解説を隠す←

採点するやり直す解説を読む

（解答）
　右図のように，頂点の座標が(−1, 4)の放物線で，グラフは上に凸になる．
　x=−1のとき最大値4
　x=1のとき最小値0…（答）
→解説を隠す←

(4)
• 定義域が限られた２次関数の最大値・最小値を求めるためには，「①頂点のy座標」「②定義域の左端のy座標」「③定義域の右端のy座標」の３つを比較することが重要．①を求めるには２次関数を平方完成形で書く必要がある

① ② ③

• ２次関数が

展開形 y=ax2+bx+c
因数分解形 y=a(x−α)(x−β)

などで書かれている問題は，

平方完成形 y=a(x−p)2+q

に直して，最大値・最小値を求めるとよい．

【例題3-1】
　次の2次関数の最大値，最小値およびそのときのxの値を求めてください
　y=x2+6x+7（−4≦x≦−1）

（解答）
　y=(x+3)2−2と変形する．
　頂点の座標は(−3, −2)で下に凸のグラフになる．
　頂点が定義域の中央よりも左側にあるから
右端x=−1で最大値2をとる
頂点x=−3で最小値−2をとる

【例題3-2】
　次の2次関数の最大値，最小値およびそのときのxの値を求めてください
　y=x2+2x−3（−4≦x≦1）

（解答）
　y=(x+1)2−4と変形する．
　頂点の座標は(−1, −4)で下に凸のグラフになる．
　頂点が定義域の中央よりも右側にあるから
左端x=−4で最大値5をとる
頂点x=−1で最小値−4をとる

【例題3-3】
　次の2次関数の最大値，最小値およびそのときのxの値を求めてください
　y=−x2+4x−3（0≦x≦4）

（解答）
　y=−(x−2)2+1と変形する．
　頂点の座標は(2, 1)で上に凸のグラフになる．
　頂点が定義域の中央にあるから
頂点x=2で最大値1をとる
x=0, 4で最小値−3をとる

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