微分法（数学Ⅱ/教科書レベル基本問題5）

==微分法（数学Ⅱ/教科書レベル基本問題5）==

• 最大値·最小値
• 関数のグラフと係数の符号　
• 実数解の個数（文字係数）

【例題1】
　次の関数について，（　）内の範囲における最大値と最小値を求めてください．
　y=x3−3x+2 （0≦x≦2）

（解答）
y’=3x2−3=3(x+1)(x−1)=0 ⇔ x=−1, 1

x	···	−1	···
y’	+	0	−
y	$\nearrow$	4	$\searrow$

0	···	1	···	2
−	−	0	+	+
2	$\searrow$	0	$\nearrow$	4

···

$\nearrow$

　増減表のうちで赤枠で示した範囲が定義域となる．
x=2のとき最大値4，x=1のとき最小値0…（答）

• 「極大値」「極小値」の他に「区間の両端の値」を比べて，最大値，最小値とします．
• なお，x=0のときy=2となるが，この値は $x=\sqrt{3}$ ≒1.732...のときにもとり得る中間の値で，最大値でも最小値でもない．
• 「最大値，最小値を求めよ」という問題では，最大値，最小値の（yの）値だけでなく，その値を与えるxの値も答えるのが普通です．だから，答案は上記のように書くか，次の形に書くかのいずれかが普通．
　最大値4（x=2），最小値0（x=1）

（参考）グラフは下図のようになります

【例題2】
　次の関数について，（　）内の範囲における最大値と最小値を求めてください．
　y=−x3−3x2+4 （−2≦x≦1）

（解答）
y’=−3x2−6x=−3x(x+2)=0 ⇔ x=−2, 0

x	···
y’	−
y	$\searrow$

−2	···	0	···	1
0	+	0	−	−
0	$\nearrow$	4	$\searrow$	0

···

−

$\searrow$

　増減表のうちで赤枠で示した範囲が定義域となる．
x=0のとき最大値4，x=−2, 1のとき最小値0…（答）

• 同じ値が最小値となっているとき，「どちらも最小値」とします．「日本タイ記録」「世界タイ記録」のような考え方です

（参考）グラフは下図のようになります

• 空欄を「半角数字(1, 2, 3 など)」「半角英小文字」(a, b, c など)で埋めて，採点ボタンを押してください．
• 採点すれば採点結果と解説が出ます．見ているだけでは解説は出ません．

次の関数について，（　）内の範囲における最大値と最小値を求めてください．

【問題1-1】
　y=2x3−3x2−12x （−2≦x≦3）
x=のとき最大値

x=のとき最小値

採点するやり直す解説を読む

（解答）
y’=6x2−6x−12=6(x+1)(x−2)
y’=0 ⇔ x=−1, 2

x	···
y’	+
y	$\nearrow$

−2	···	−1	···	2	···	3
+	+	0	−	0	+	+
−4	$\nearrow$	7	$\searrow$	−20	$\nearrow$	−9

···

$\nearrow$

　増減表のうちで赤枠で示した範囲が定義域となる．
x=−1のとき最大値7，x=2のとき最小値−20…（答） →解説を隠す← （参考）グラフは下図のようになります

次の関数について，（　）内の範囲における最大値と最小値を求めてください．

【問題1-2】
　y=−x3+x2 （−1≦x≦1）
x=のとき最大値

x=，のとき最小値

採点するやり直す解説を読む

（解答）
y’=−3x2+2x=−x(3x−2)
y’=0 ⇔ $x=0,\hspace{2}\frac{2}{3}$

x	···
y’	−
y	$\searrow$

−1	···	···	$\frac{2}{3}$	···	1
−	−	+	0	−	−
2	$\searrow$	$\nearrow$	$\frac{4}{27}$	$\searrow$	0

···

$\searrow$

　増減表のうちで赤枠で示した範囲が定義域となる．
x=−1のとき最大値2，x=0, 1のとき最小値0…（答） →解説を隠す← （参考）グラフは下図のようになります

《関数のグラフと係数の符号》

【例題3】
　3次関数f(x)=ax3+bx2+cx+dのグラフが下図のような形になるとき，係数a, b, c, dの符号を定めてください．

（解答）
f(x)=ax3+bx2+cx+d…(1)
f’(x)=3ax2+2bx+c…(2)
• y軸との交点を見ると，f(0)=d>0
• x→−∞のときf(x)→−∞，x→∞のときf(x)→∞だからa>0
• グラフから，極大値と極小値があるから，f’(x)=3ax2+2bx+c=0の２つの実数解を0<α<βとおくと，(2)について解と係数の関係から

$\alpha+\beta=-\frac{2b}{3a}\gt 0$
$\alpha\beta=\frac{c}{3a}\gt 0$
a>0だから，b<0, c>0

以上から，a>0, b<0, c>0, d>0…（答）

【問題3-1】
　3次関数f(x)=ax3+bx2+cx+dのグラフが下図のような形になるとき，係数a, b, c, dの符号を定めてください．
（各々正しい方をクリックしてください）

a>0 b>0 c>0 d>0

a<0 b<0 c<0 d<0

解説を読む

（解答）
f(x)=ax3+bx2+cx+d…(1)
f’(x)=3ax2+2bx+c…(2)
• y軸との交点を見ると，f(0)=d<0
• x→−∞のときf(x)→∞，x→∞のときf(x)→−∞だからa<0
• グラフから，極大値と極小値があるから，f’(x)=3ax2+2bx+c=0の２つの実数解を0<α<βとおくと，(2)について解と係数の関係から

$\alpha+\beta=-\frac{2b}{3a}\gt 0$
$\alpha\beta=\frac{c}{3a}\gt 0$
a<0だから，b>0, c<0

以上から，a<0, b>0, c<0, d<0…（答） →解説を隠す←

【問題3-2】
　3次関数f(x)=ax3+bx2+cx+dのグラフが下図のような形になるとき，係数a, b, c, dの符号を定めてください．
（各々正しい方をクリックしてください）

a>0 b>0 c>0 d>0

a<0 b<0 c<0 d<0

解説を読む

（解答）
f(x)=ax3+bx2+cx+d…(1)
f’(x)=3ax2+2bx+c…(2)
• y軸との交点を見ると，f(0)=d>0
• x→−∞のときf(x)→∞，x→∞のときf(x)→−∞だからa<0
• グラフから，極大値と極小値があるから，f’(x)=3ax2+2bx+c=0の２つの実数解をα<−1, β<1とおくと，α+β<0, αβ<0
(2)について解と係数の関係から

$\alpha+\beta=-\frac{2b}{3a}\lt 0$
$\alpha\beta=\frac{c}{3a}\lt 0$
a<0だから，b>0, c<0

以上から，a<0, b<0, c>0, d>0…（答）

（別解）
グラフの形からa<0
グラフとx軸との交点がx=−2, −1, 2となっているから
f(x)=a(x+2)(x+1)(x−2)=a(x3+x2−4x−4)
=ax3+ax2−4ax−4aとおける
したがって，b=a<0, c=−4a>0, d=−4a>0…（答）
→解説を隠す←

【問題3-3】
　3次関数f(x)=ax3+bx2+cx+dのグラフが下図のような形になるとき，係数a, b, c, dの符号を定めてください．
（各々正しい方をクリックしてください）

a>0 b>0 c>0 d>0

a<0 b<0 c<0 d<0

解説を読む

（解答）
f(x)=ax3+bx2+cx+d…(1)
f’(x)=3ax2+2bx+c…(2)
• y軸との交点を見ると，f(0)=d<0
• x→−∞のときf(x)→−∞，x→∞のときf(x)→∞だからa>0
• グラフから，極大値と極小値があるから，f’(x)=3ax2+2bx+c=0の２つの実数解を0<α<βとおくと，α+β>0, αβ>0
(2)について解と係数の関係から

$\alpha+\beta=-\frac{2b}{3a}\gt 0$
$\alpha\beta=\frac{c}{3a}\gt 0$
a>0だから，b>0, c>0

以上から，a>0, b>0, c>0, d<0…（答） →解説を隠す←

《文字係数方程式の実数解の個数》
(1) 文字定数aの値に応じて，方程式x3−3x+a=0の実数解の個数を調べるような問題では

a=−x3+3xと変形することにより，2つのグラフf(x)=aとg(x)=−x3+3xの共有点の個数を調べるとよい

(2) x3−3ax2+4a=0（a>0）のように，文字定数aについて解いてしまうと
$a=\frac{x^3}{3x^2-4}$
といった「分数関数」になってしまう場合は，数学Ⅱの範囲では導関数を求められないので，元の関数のまま
　　　y=x3−3ax2+4a
の形を微分して，文字定数を含めた形でx軸との共有点の個数を調べるとよい．
※(2)の方が適用範囲が広いが，途中の処理がやや複雑になる．

(1)の場合，黒線で示したg(x)=−x3+3xのグラフを描いてから，文字定数aの値の大小に応じて，赤線で示したf(x)=aのグラフを描くと，共有点の個数が調べられる．

a<−2

−2<a<2

a>2

a=−2

a=2

【例題4】
　aを正の定数とするとき，3次方程式x3−3ax2+4a=0の実数解の個数を調べてください．

（解答）
y=x3−3ax2+4aとおく
y’=3x2−6ax=3x(x−2a)
y’=0 ⇔ x=0, 2a
a>0だから，増減表は次の通り

x	···	0	···	2a	···
y’	+	0	−	0	+
y	$\nearrow$	4a	$\searrow$	−4a3+4a	$\nearrow$

ここで，a>0のとき

ア) −4a3+4a=−4a(a+1)(a−1)>0⇔a>1(下図赤)
イ) −4a3+4a=−4a(a+1)(a−1)=0⇔a=1(下図緑)
ウ) −4a3+4a=−4a(a+1)(a−1)<0⇔0<a<1(下図青)

x軸との共有点の個数は
ア)　a>1のとき，1個
イ)　a=1のとき，2個
ウ)　0<a<1のとき，3個…（答）

【問題4-1】
　3次方程式2x3−3ax2+1=0が異なる3つの実数解をもつとき，定数aの値の範囲を求めてください．
　a>

採点するやり直す解説を読む

（解答）
y=2x3−3ax2+1とおく
y’=6x2−6ax=6x(x−a)
y’=0 ⇔ x=0, a
ア）　a>0のとき

x	···	0	···	a	···
y’	+	0	−	0	+
y	$\nearrow$	1	$\searrow$	−a3+1	$\nearrow$

y=0が異なる3つの実数解をもつためには，−a3+1<0が条件となる
　a3−1>0
　a>1
イ） a=0のとき
　y’=6x2≧0となって，極値をもたない
　グラフは単調増加関数となり，y=0は１つの実数解だけをもつ．
ウ） a<0のとき

x	···	a	···	0	···
y’	+	0	−	0	+
y	$\nearrow$	−a3+1	$\searrow$	1	$\nearrow$

y=0は１つの実数解だけをもつ．
以上から，a>1…（答）
（参考）グラフは下図のようになります

赤：a<0のときのグラフ
緑：0<a<1のときのグラフ
青：a>1のときのグラフ

→解説を隠す←

【問題4-2】
　3次方程式2x3−6x+a=0が負の解を２つと正の解を１つもつとき，定数aの値の範囲を求めてください．
　<a<

採点するやり直す解説を読む

（解答）
y=2x3−6x+aとおく
y’=6x2−6=6(x+1)(x−1)
y’=0 ⇔ x=−1, 1

x	···	−1	···	0	···	1	···
y’	+	0	−	−	−	0	+
y	$\nearrow$	a+4	$\searrow$	a	$\searrow$	a−4	$\nearrow$

a+4

グラフから，正の解を１つをもつ条件はa<0，
負の解を２つもつ条件はa+4>0となる．
−4<a<0…（答）

（別解）
この形の方程式は，−2x3+6x=aと変形すると，左辺が固定した曲線，右辺が横線となって，共有を調べやすい．
y1=−2x3+6xとおく
y1’=−6x2+6=−6(x+1)(x−1)
y1’=0 ⇔ x=−1, 1

x	···	−1	···	0	···	1	···
y’	−	0	+	+	+	0	−
y	$\searrow$	4	$\nearrow$	0	$\nearrow$	−4	$\searrow$

aの値を変化させて，横線を上下に動かすとき，負の解を２つと正の解を１つもつとき，共有点のx座標が，負の値2個と正の値１個となるのは
−4<a<0…（答）
→解説を隠す←

【問題4-3】
　3次方程式 $\frac{x^3}{3}-x^2-x+ 1=2x+ a$ が負の解を1つと正の解を2つもつとき，定数aの値の範囲を求めてください．
　<a<

採点するやり直す解説を読む

（解答）
$a=\frac{x^3}{3}-x^2-3x+ 1$
$y_1=\frac{x^3}{3}-x^2-3x+ 1$ とおくと
y1’=x2−2x−3=(x+1)(x−3)
y1’=0 ⇔ x=−1, 3

x	···	−1	···	0	···	3	···
y’	+	0	−	−	−	0	+
y	$\nearrow$	$\frac{4}{3}$	$\searrow$	1	$\searrow$	−8	$\nearrow$

y2=aのグラフは横線
次のようなグラフになる

a>1

−8<a<1

a≦−8

グラフから，負の解を1つと正の解を2つもつ−8<a<1…（答）
→解説を隠す←

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