集合，必要条件，十分条件（共通,センター問題）

(2)
　命題「( p または q ) ⇒ r」に対する反例は
　「( p または q ) かつ r」となるものであるから
「（三つの内角がすべて異なる，または，直角三角形でない）であって，かつ，45°の内角がある」である．
前半を満たすものは（①③または①②④）だから（①②③④），後半を満たすものは⓪①④だから，両方とも成り立つ（「かつ」が成立する）のは，①④→ケコ
→解答を隠す←

(3)　rは( p または q )であるためのサ。
　サに当てはまるものを，次の⓪～③のうちから一つ選べ。

⓪　必要十分条件である
①　必要条件であるが，十分条件ではない
②　十分条件であるが，必要条件ではない
③　必要条件でも十分条件でもない

［解答を見る］

(3)
対偶で考えて，（pかつq）とrの関係を調べる
（pかつq）は（二等辺三角形または正三角形）かつ直角三角形
ここで，正三角形と直角三角形は両立できないから，
　　（pかつq）は「直角二等辺三角形」，
　　　rは「45°の内角がある」
以上から
　「直角二等辺三角形」 $\underset{\underset{\times}{\Longleftarrow}}{\underset{\Longrightarrow}{\circ}}$ 「45°の内角がある」
すなわち
　（pかつq） $\underset{\underset{\times}{\Longleftarrow}}{\underset{\Longrightarrow}{\circ}}$ r
対偶をとると

　r $\underset{\underset{\times}{\Longleftarrow}}{\underset{\Longrightarrow}{\circ}}$ （pまたはq）
よって，rは( p または q )であるための②→サ
→解答を隠す←

【2014年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第1問 [2]

　集合UをU={n|nは5< $\sqrt{n}$ <6を満たす自然数}で定め，またUの部分集合P, Q, R, Sを次のように定める。

P={n|n∈Uかつnは4の倍数}
Q={n|n∈Uかつnは5の倍数}
R={n|n∈Uかつnは6の倍数}
S={n|n∈Uかつnは7の倍数}

　全体集合をUとする。集合Pの補集合をPで表し，同様にQ, R, Sの補集合をそれぞれQ，R，Sで表す。

(1)　Uの要素の個数はタチ個である。

(2)　次の⓪～④で与えられた集合のうち，空集合であるものはツ，テである。

　ツ，テに当てはまるものを，次の⓪～④のうちから一つずつ選べ。ただし，ツ，テの解答の順序は問わない。

⓪ P∩R　① P∩S　② Q∩R　③ P∩Q　④ R∩Q

［解答を見る］

(1)
25<n<36
n=26,27,28.29,30,31,32,33,34,35　10個→タチ

(2)
P={28,32}, Q={30,35}, R={30}, S={28,35}
だから
⓪　P∩R=∅， ①　P∩S={28}， ②　Q∩R={30}
③　P∩Q={28,32}， ④　R∩Q=∅
したがって，空集合であるものは，⓪④→ツテ →解答を隠す←

(3)　集合Xが集合Yの部分集合であるとき，X⊂Yと表す。このとき，次の⓪～④のうち，部分集合の関係について成り立つものはト，ナである。
　ト，ナに当てはまるものを，次の⓪～④のうちから一つずつ選べ。ただし，ト，ナの解答の順序は問わない。

⓪P∪R⊂Q　　 ①S∩Q⊂P　　②Q∩S⊂P
③P∪Q⊂S　　④R∩S⊂Q

［解答を見る］

(3)
⓪P∪R={28,30,32},Q={26,27,28,29,31,32,33,34}
30∈P∪Rかつ30∉Q
ゆえに，P∪R⊂Qは偽

①S∩Q={28}，P={28,32}
だから，S∩Q⊂Pは真

②Q∩S={26,27,29,31,32,33,34}
P={26,27,29,30,31,33,34,35}
32∈Q∩Sかつ32∉P
ゆえに，Q∩S⊂Pは偽

③P∪Q={26,27,　,29,30,31,　,33,34,35}
∪{26,27,28,29,　,31,32,33,34,　}
∪U
S={26,27,29,30,31,32,33,34}
28,35∈P∪Qかつ28,35∉S
だから，P∪Q⊂Sは偽

④R∩S={26,27,28,29,　,31,32,33,34,35}
∩{26,27,　,29,30,31,32,33,34,　}
={26,27,　,29,　,31,32,33,34,　}
Q={26,27,28,29,　,31,32,33,34,　}
ゆえに，R∩S⊂Qは真
①④→トナ →解答を隠す←

【2015年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第2問 [1]

　条件p1, p2, q1, q2の否定をそれぞれp1, p2, q1, q2と書く。
(1)　次のアに当てはまるものを，下の⓪～③のうちから一つ選べ。

命題「（p1かつp2 ）⇒ （q1かつq2）」の対偶はアである。

⓪　（p1またはp2）⇒（q1またはq2）
①　（q1またはq2）⇒（p1またはp2）
②　（q1かつq2）⇒（p1かつp2）
③　（p1かつp2）⇒（q1かつq2）

［解答を見る］

「（p1かつp2 ）⇒ （q1かつq2）」の対偶は
　「（q1かつq2） ⇒ （p1かつp2 ）」
すなわち
　「（q1またはq2）⇒（p1またはp2）」
①→ア →解答を隠す←

(2)　自然数nに対する条件p1, p2, q1, q2を次のように定める。

p1 : nは素数である
p2 : n+2は素数である
q1 : n+1は5の倍数である
q2 : n+1は6の倍数である

　30以下の自然数nのなかでイとウエは
　　命題「（p1かつp2）⇒（q1かつq2）」
の反例となる。

［解答を見る］

命題「（p1かつp2）⇒（q1かつq2）」の反例は，
「（p1かつp2）が成り立ち，かつ，（q1またはq2）となるもの」であるから
まず30以下の自然数で，（p1かつp2）となるものは，
　n=3,5,11,17,29
このうちで，n+1が5の倍数であるものは，
　n=29
n+1が6の倍数でないものは，
　n=3
以上から，n=3, 29→イ，ウエ →解答を隠す←

【2016年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第1問

[2]　次の問いに答えよ。必要ならば， $\sqrt{7}$ が無理数であることを用いてよい。
(1)　Aを有理数全体の集合，Bを無理数全体の集合とする。空集合を∅と表す。

　次の(ⅰ)～(ⅳ)が真の命題になるように，サ，セに当てはまるものを，下の⓪～⑤のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。

(ⅰ)　Aサ{0}

(ⅱ)　 $\sqrt{28}$ シB

(ⅲ)　A={0}スA

(ⅳ)　∅=AセB

⓪ ∈　① ∋　② ⊂　③ ⊃　④ ∩　⑤ ∪

［解答を見る］

集合と要素の間での基本の書き方
　要素∈集合，集合∋要素
　集合⊂集合，集合⊃集合，集合∩集合，集合∪集合

(ⅰ) Aは集合，{0}も集合であることに注意する

A⊃{0}→③サ

(ⅱ) $\sqrt{28}=2\sqrt{7}$ は１つの無理数

$\sqrt{28}=2\sqrt{7}$ ∈B→⓪シ

(ⅲ) Aと{0}は等しくないので，{0}をAに等しくなるまで広げる

{0}∪A=A→⑤ス

(ⅳ) A∩B=∅は明らか（実数のうちで有理数でないものを無理数という）

→④セ

→解答を隠す←

(2)　実数xに対する条件p, q, rを次のように定める。

p : xは無理数
q : x+ $\sqrt{28}$ は有理数
r : $\sqrt{28}$ xは有理数

　次のソ，タに当てはまるものを，下の⓪～③のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。

pはqであるためのソ。
pはrであるためのタ。

⓪　必要十分条件である
①　必要条件であるが，十分条件でない
②　十分条件であるが，必要条件でない
③　必要条件でも十分条件でもない

［解答を見る］

p ⇒ qの成否を調べる

「p : xは無理数」のとき，例えば $x=-\sqrt{7}$ のとき，「q : x+ $2\sqrt{7}=\sqrt{7}$ は無理数」だから， $p\overset{\times}{\Longrightarrow}q$

p ⇒ qの成否を調べる

「q : x+ $2\sqrt{7}$ が有理数」のとき，有理数aを用いて，x+ $2\sqrt{7}$ =aと書ける．
このとき，x=a $-2\sqrt{7}$ は無理数になるから， $p\overset{\circ}{\Longleftarrow}q$

以上から，pはqであるための必要条件①→ソ

p ⇒ rの成否を調べる

「p : xは無理数」のとき，例えば $x=\sqrt{2}$ のとき，「r : $2\sqrt{7}x=2\sqrt{14}$ は無理数」だから， $p\overset{\times}{\Longrightarrow}r$

p ⇒ rの成否を調べる

「r : $2\sqrt{7}x$ が有理数」のとき，例えば $2\sqrt{7}x=0$ のとき， x=0は有理数になるから， $p\overset{\times}{\Longleftarrow}r$

以上から，pはrであるための必要条件でも十分条件でもない③→タ
→解答を隠す←

【2017年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第1問

[2]　実数xに関する２つの条件p, qを

p : x=1
q : x2=1

とする。また，条件p, qの否定をそれぞれp，qで表す。

(1)　次のケ，コ，サ，シに当てはまるものを，下の⓪～③のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。

qはpであるためのケ。
pはqであるためのコ。
(pまたはq)はqであるためのサ。
(pかつq)はqであるためのシ。

⓪　必要条件だが十分条件でない
①　十分条件だが必要条件でない
②　必要十分条件である
③　必要条件でも十分条件でもない

［解答を見る］

[2](1)
p : x=1 $\underset{\underset{\times 2}{\Longleftarrow}}{\underset{\Longrightarrow}{\circ 1}}$ q : x2=1
⓪→ケ

［式の変形で示す場合］
x=1の辺々を2乗するとx2=1になるから，⇒1は〇
x2−1=0を変形するとx±1=0
x=−1のとき，pが成り立たないから，⇒2は×

［集合図の包含関係で示す場合］
条件p, qに対応する集合をそれぞれP, Qで表すと
右図のようにP⊂Qだからp⇒q

他方で，−1∈Qかつ−1∉Pだから，逆は成り立たない．P⊅Q すなわち，p : x=1 $\underset{\times}{\Longleftarrow}$ q : x2=1

p : x≠1 $\underset{\underset{\times 4}{\Longleftarrow}}{\underset{\Longrightarrow}{\times 3}}$ q : x2=1
③→コ

［式の変形で示す場合］
x=0のとき，x≠1であって，かつx2=1が成り立たないから，⇒3は×
x=1のとき，x2=1かつx≠1が成り立たないから，⇒4は×

［集合図の包含関係で示す場合］
条件p, qに対応する集合をそれぞれP, Qで表す
x=0のとき，x∈Pかつx∉Qだから
P⊄Q
x=1のとき，x∈Qかつx∉Pだから
P⊅Q

→解答を隠す←

［解答を見る］

(pまたはq) $\underset{\underset{\times 2}{\Longleftarrow}}{\underset{\Longrightarrow}{\times 1}}$ q

［式の変形で示す場合］
意外に難しい．集合図で考える方が分かりやすい人が多いと思われる．
x=1またはx2=1
ここで,x2=1⇔(x=1またはx=−1)⇔(x≠1かつx≠−1)
だから
x=1または(x≠1かつx≠−1)
⇔(x=1またはx≠1)かつ(x=1またはx≠−1)
⇔(何でもあり)かつ(x=1またはx≠−1)
⇔x=1またはx≠−1
⇔x≠−1
そこで
x≠−1 $\underset{\Longrightarrow}{\times}}$ x2=1（反例：x=0）
x2=1 $\underset{\Longrightarrow}{\times}}$ x≠−1（反例：x=−1）

［集合図の包含関係で示す場合］
条件p, qに対応する集合をそれぞれP, Qで表す
P∪Q={x|x≠−1}
Q={x|x=−1, 1}
x=0∈(P∪Q)のときx∉Qだから(pまたはq) $\underset{\Rightarrow}{\times}$ q
x=−1∈Qのときx∉(P∪Q)だから(pまたはq) $\underset{\Leftarrow}{\times}$ q

→解答を隠す←

［解答を見る］

(pかつq) $\underset{\underset{\times 2}{\Longleftarrow}}{\underset{\Longrightarrow}{\circ 1}}$ q

［式の変形で示す場合］
(pかつq) ⇔ x≠1かつ(x=1またはx=−1)
⇔ (x≠1かつx=1)または(x≠1かつx=−1)
⇔ (ありえない)または(x≠1かつx=−1)
⇔ (x≠1かつx=−1)
⇔ x=−1
そこで
x=−1 $\underset{\underset{\times 2}{\Longleftarrow}}{\underset{\Longrightarrow}{\circ 1}}$ x2=1

［集合図の包含関係で示す場合］
条件p, qに対応する集合をそれぞれP, Qで表す
P∪Q={x|x=−1}
Q={x|x=−1, 1}
だから
(P∪Q)⊂Q　すなわち　(pかつq) $\underset{\Longrightarrow}{\circ}$ q

他方で，1∈Qかつ1∉(P∪Q)だから，逆は成り立たない．
Q⊄P∪Q)．すなわち，p : x=1 $\underset{\times}{\Longleftarrow}$ q : x2=1

→解答を隠す←

(2)　実数xに関する条件rを

r : x>0

とする。次のスに当てはまるものを，下の ⓪～⑦のうちから一つ選べ。
　３つの命題

A : 「(pかつq)⇒r」
B : 「q⇒r」
C : 「q⇒p」

の真偽について正しいものはスである。

⓪　Aは真，Bは真，Cは真
①　Aは真，Bは真，Cは偽
②　Aは真，Bは偽，Cは真
③　Aは真，Bは偽，Cは偽
④　Aは偽，Bは真，Cは真
⑤　Aは偽，Bは真，Cは偽
⑥　Aは偽，Bは偽，Cは真
⑦　Aは偽，Bは偽，Cは偽

［解答を見る］

p : x=1，p : x≠1
q : x2=1，q : x≠1かつx≠−1
r : x>0
　このとき
Aについて

(pかつq) ⇔ x=1 ⇒ x>0
であるから，Aは真

Bについて

q ⇔ x2=1
x=−1のときx>0は成り立たないから
x2=1 $\underset{\Longrightarrow}{\times}}$ x>0
Bは偽

Cについて

(q : x≠1かつx≠−1) ⇒ p : x≠1
であるから，Cは真

以上から，Aは真，Bは偽，Cは真→ ②ス
→解答を隠す←

【2018年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第1問[2]

(1)　全体集合UをU={x|xは20以下の自然数}とし，次の部分集合A, B, Cを考える。

A={x|x∈Uかつxは20の約数}
B={x|x∈Uかつxは3の倍数}
C={x|x∈Uかつxは偶数}

　集合Aの補集合をAで表し，空集合を∅と表す。
　次のキに当てはまるものを，下の⓪～③のうちから一つ選べ。
　集合の関係

(a)　A⊂C
(b)　A∩B=∅

の正誤の組合せとして正しいものはキである。

	⓪	①	②	③
(a) (b)	正正	正誤	誤正	誤誤

［解答を見る］

A={1, 2, 4, 5, 10, 20}
B={3, 6, 9, 12, 15, 18}
C={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}

A⊂Cの真偽について調べる

5∈Aであるが5∉CだからA⊂Cは偽

A∩Bについて調べる

A, Bの両方に入っている数はないから，A∩B=∅が成り立つ

以上により，②→キ →解答を隠す←

(2)　実数xに関する次の条件p, q, r, sを考える。

p : |x−2|>2,q : x<0,r : x>4, s : $\sqrt{x^2}$ >4

　次のケ，コに当てはまるものを，下の⓪～③のうちからそれぞれ一つ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。

　qまたはrであることは，pであるためのケ。また，sはrであるためのコ。

⓪　必要条件だが十分条件ではない
①　十分条件であるが必要条件ではない
②　必要十分条件である
③　必要条件でも十分条件でもない

［解答を見る］

(2)

p : x<0または4<x
q : x<0
r : x>4
s : x<−2または2<x

(qまたはr) ⇔ (x<0または4<x) ⇔ p
②必要十分条件である→ケ

s ⇔ (x<−2または2<x) $\underset{\underset{\circ}{\Longleftarrow}}{\underset{\Longrightarrow}{\times}}$ x>4 ⇔ r
⓪必要条件だが十分条件ではない→コ →解答を隠す←

【2019年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第1問

[2]　二つの自然数m, nに関する三つの条件p, q, rを次のように定める。

p : mとnはともに奇数である
q : 3mnは奇数である
r : m+5nは偶数である

また，条件pの否定をpで表す。

(1)　次のシ，スに当てはまるものを，下の⓪～②のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。

　二つの自然数m, nが条件pを満たすとする。このとき，mが奇数ならばnはシ。また，mが偶数ならばnはス。

⓪　偶数である
①　奇数である
②　偶数でも奇数でもよい

［解答を見る］

「二つの自然数m, nが条件pを満たす」⇔「mが偶数，または，nが偶数」
このとき，「mが奇数」ならば「nは偶数」⓪→シ
「mが偶数」ならば「nは偶数でも奇数でもよい」②→ス
→解答を隠す←

(2)　次のセ，ソ，タに当てはまるものを，下の⓪～③のうちから一つずつ選べ。ただし，同じものを繰り返し選んでもよい。

pはqであるためのセ。
pはrであるためのソ。
pはrであるためのタ。

⓪　必要十分条件である
①　必要条件であるが，十分条件ではない
②　十分条件であるが，必要条件ではない
③　必要条件でも十分条件でもない

［解答を見る］

p:mとnはともに奇数である
q:3mnは奇数である
r:m+5nは偶数である

p:mまたはnは偶数である
q:3mnは偶数である
r:m+5nは奇数である

(mとnはともに奇数である) ⇔ (3mnは奇数である)だから
pはqであるための必要十分条件⓪→セ

(mとnはともに奇数である) ⇒ (m+5nは偶数である)は成り立つ
(m+5nは偶数である) ⇒ (mとnはともに奇数である)について調べる

-表1-
m	n	m+5m
奇数	奇数	偶数
奇数	偶数	奇数
偶数	奇数	奇数
偶数	偶数	偶数

右の表1から分かるように，m+5nが偶数であるとき，(mとnはともに奇数である)とは言えない．［mとnがともに偶数である場合もある］
したがって
(m+5nは偶数である) ⇒ (mとnはともに奇数である)は成り立たない．

p $\underset{\underset{\times}{\Longleftarrow}}{\underset{\Longrightarrow}{\circ}}$ r
②十分条件であるが，必要条件ではない→ソ

(mまたはnは偶数である) ⇔ (m+5nは偶数である)について調べる

表1から分かるように， (mまたはnは偶数である)場合に，(m+5nは偶数である)とは限らない．
(m+5nは偶数である)場合に，(mまたはnは偶数である)とは限らない．
したがって，p $\underset{\underset{\times}{\Longleftarrow}}{\underset{\Longrightarrow}{\times}}$ r
③必要条件でも十分条件でもない→タ

→解答を隠す←

【2020年度センター試験.数学Ⅰ･数学A】第1問

[2]　自然数nに関する三つの条件p, q, rを次のように定める。

p : nは4の倍数である
q : nは6の倍数である
r : nは24の倍数である

　条件p, q, rの否定をそれぞれp，q，rで表す。
　条件pを満たす自然数全体の集合をPとし，条件qを満たす自然数全体の集合をQとし，条件rを満たす自然数全体の集合をRとする。自然数全体の集合を全体とし，集合P, Q, Rの補集合をそれぞれP，Q，Rで表す。

(1)　次のスに当てはまるものを，下の⓪～⑤のうちから一つ選べ。

32∈ス

⓪ P∩Q∩R

① P∩Q∩R

② P∩Q

③ P∩Q

④ P∩Q∩R

⑤ P∩Q∩R

［解答を見る］

　32は4の倍数である(P)が，6の倍数でない(Q)，24の倍数でない(R)
　正確に言えば，
32∈P∩Q∩R
であるが，これにちょうど当てはまるものはない．そこで，「もう少し範囲が広いが，間違いでないもの＝必要条件となるもの」を探すと
32∈ (P∩Q∩R) ⊂ (P∩Q)
により，②→ス →解答を隠す←

(2)　次のタに当てはまるものを，下の⓪～④のうちから一つ選べ。

P∩Qに属する自然数のうち最小のものはセソである。
また，セソタRである。

⓪ =　　① ⊂　　② ⊃　　③ ∈　　④ ∉

(3)　次のチに当てはまるものを，下の⓪～③のうちから一つ選べ。

自然数セソは，命題チの反例である。

⓪「(pかつq)⇒r」

①「(pまたはq)⇒r」

②「r⇒(pかつq)」

③「(pかつq)⇒r」

［解答を見る］

P∩Qに属するものは，4の倍数であって，かつ，6の倍数だから，12の倍数．これを満たす自然数のうち最小のものは12→セソ

Rに属するものは，24の倍数．12∉R．④→タ

一般に，a⇒bという命題が正しくないことを示す反例は，「aが成り立ち，かつ,bが成り立たないもの」である．
そこで

⓪の反例は，P∩Q∩Rに属する2になる→12は該当しない

①の反例は，(P∪Q)∩R：4または6の倍数であって，かつ，24の倍数，すなわち，24の倍数になる→12は該当しない

②の反例は，R∩(PまたはQ)：24の倍数であって，かつ，(４の倍数でないかまたは6の倍数でないもの)→このようなものは存在しないから，12は該当しない

③の反例は，(PまたはQ)かつR：(４の倍数または6の倍数)であって，かつ，24の倍数でないもの→12はこれに該当する→チ →解答を隠す←

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