円と直線の位置関係（まとめ）

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== 円と直線の位置関係（まとめ） == 《難易度の目安》

教科書の基本:★,　問題集の標準:★★，発展学習:★★★

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1. 円と直線の共有点の座標
2. 円と直線の共有点の個数
3. 円外の１点を通る接線
4. 接線の長さ
5. 共通接線の方程式
6. 弦の長さ，共通弦の長さ
7. 方べきの定理

1. 円と直線の共有点の座標
　「円と直線の共有点の座標」を求めるには，連立方程式を解けばよい．

【例１】★
　円x2+y2=5と直線y=2xには共有点があるか．あればその座標を求めてください．

（解答）

２次式(1)と１次式(2)から成り立っているような連立方程式では，１次式の方の１つの文字を２次式の方に代入消去して未知数を１つにするのが基本

次の連立方程式を解く

x2+y2=5･･･(1)
y=2x･･･(2)
(2)を(1)に代入する
x2+(2x)2=5
5x2=5
x2=1
x=±1
ア）x=1のとき，(2)によりy=2
イ）x=−1のとき，(2)によりy=−2
以上から，共有点は２つある．(1, 2), (−1, −2)･･･（答）

• 交点と接点を合わせて共有点という．
• ２組の実数解は，２交点の座標に対応する．
• １組の重解は，１つの接点の座標に対応する．
• 実数解がないとき（虚数解になるとき）は，共有点なしという･･･「交点なし」では接点の場合があるから，交点も接点もないときは「共有点なし」という．

【問題1-1】★
　円x2+y2=1と直線x−y=1には共有点があるか．あればその座標を求めてください．

［解説を読む］

次の連立方程式を解く

x2+y2=1･･･(1)
y=x−1･･･(2)
(2)を(1)に代入する
x2+(x−1)2=1
x2+x2−2x+1=1
2x(x−1)=0
x=0, 1
ア） x=0のとき，(2)よりy=−1
イ） x=1のとき，(2)よりy=0
以上から，共有点（交点）は２つある．(0, −1), (1, 0)･･･（答） →解説を隠す←

【問題1-2】★
　円x2+y2=10と直線y=3x−10には共有点があるか．あればその座標を求めてください．

［解説を読む］

次の連立方程式を解く

x2+y2=10･･･(1)
y=3x−10･･･(2)
(2)を(1)に代入する
x2+(3x−10)2=10
x2+9x2−60x+100=10
10x2−60x+90=0
x2−6x+9=0
(x−3)2=0
x=3（重解）
x=3のとき，(2)よりy=−1
以上から，共有点（接点）は1つある．(3, −1)･･･（答） →解説を隠す←

【問題1-3】★
　円x2+y2−6x−4y+9=0と直線2x+y−2=0には共有点があるか．あればその座標を求めてください．

［解説を読む］

次の連立方程式を解く

x2+y2−6x−4y+9=0･･･(1)
y=−2x+2･･･(2)
(2)を(1)に代入する
x2+(−2x+2)2−6x−4(−2x+2)+9=0
x2+4x2−8x+4−6x+8x−8+9=0
5x2−6x+5=0

いきなり判別式が出てくるのではなく，解の公式を使って解き始めると
$x=\frac{3\pm\sqrt{3^2-25}}{5}$
となって「虚数解になる」が，この虚数解自体は答案に書いても意味のない数字だから，虚数を書かずに，単に判別式が負になるということだけに「書き換える」

判別式をDとおくと
D’=D/4=9−25=−16<0
だから，実数解なし．
共有点なし･･･（答） →解説を隠す←

2. 円と直線の共有点の個数
　「円と直線の共有点の個数」を求めるには
(A) 円の方程式と直線の方程式から，１文字（多くの場合はy）を消去して得られる２次方程式について，判別式の符号（正,負,零）によって判断するのが基本です

• D>0⇔２点で交わる
• D=0⇔１点で接する
• D<0⇔共有点なし

(B) 点と直線の距離の公式を使って，円の中心(x1, y1)から直線ax+by+c=0までの距離dが，半径rよりも大きいか小さいかで判断することもできる．

$d=\frac{|ax_1+ by_1+ c|}{\sqrt{a^2+ b^2}}$
• d<r⇔２点で交わる
• d=r⇔１点で接する
• d>r⇔共有点なし

【例２】★
　円x2+y2=5と直線y=2x+aの共有点の個数は，aの値が変わると，どのように変わるかを調べてください．

（解答）
y=2x+aをx2+y2=5に代入すると
x2+(2x+a)2=5
5x2+4ax+(a2−5)=0
判別式をDとおくと
D’=D/4=(2a)2−5(a2−5)
=−a2+25
ア）−5<a<5のときD’>0となるから，２点で交わる
イ）a=±5のときD’=0となるから，１点で接する
ウ）a<−5, 5<aのときD’<0となるから，共有点なし

（別解）
円の中心(0, 0)から直線2x−y+a=0までの距離dは
$d=\frac{|a|}{\sqrt{2^2+ 1^2}}=\frac{|a|}{\sqrt{5}}$
円の半径は $r=\sqrt{5}$ だから
ア）d<r
　　すなわち
$\frac{|a|}{\sqrt{5}}\lt\sqrt{5}$
|a|<5
−5<a<5
のとき，２点で交わる
イ）d=r
　　すなわち
$\frac{|a|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$
|a|=5
a=±5
のとき，１点で接する
ウ）d>r
　　すなわち
$\frac{|a|}{\sqrt{5}}\gt\sqrt{5}$
|a|>5
a<−5, 5<a
のとき，共有点なし

【問題2-1】★
　円x2+y2−2y=0と直線y=mx−3が異なる２点で交わるような定数mの値の範囲を求めてください．

［解説を読む］

（解答）
y=mx−3をx2+y2−2y=0に代入する
x2+(mx−3)2−2(mx−3)=0
x2+m2x2−6mx+9−2mx+6=0
(m2+1)x2−8mx+15=0
判別式をDとおくと
D’=D/4=(−4m)2−15(m2+1)
=m2−15>0
$m\lt-\sqrt{15},\hspace{2}\sqrt{15}\lt m$ ･･･（答）

（別解）
　円の方程式は，x2+(y−1)2=1と書けるから，中心が(0, 1)で半径が1の円であり，直線の方程式はmx−y−3=0と書ける．
　そこで，円の中心(0, 1)から直線mx−y−3=0までの距離dが，円の半径r=1よりも小さくなるような定数mの値の範囲を求める．
$d=\frac{|0-1-3|}{\sqrt{m^2+ 1}}=\frac{4}{\sqrt{m^2+ 1}}\lt 1$
$4\lt\sqrt{m^2+ 1}$
$16\lt m^2+ 1$
$m^2\gt 15$

$m\lt-\sqrt{15},\hspace{2}\sqrt{15}\lt m$ ･･･（答） →解説を隠す←

【問題2-2】★
　円(x−1)2+(y+3)2=5と直線y=2x+kが1点で接するように定数kの値を定めてください．

［解説を読む］

（解答）
y=2x+kを(x−1)2+(y+3)2=5に代入する
(x−1)2+(2x+k+3)2=5
x2−2x+1+4x2+k2+9+4kx+6k+12x=5
5x2+2(2k+5)x+(k2+6k+5)=0
判別式をDとおくと
D’=D/4=(2k+5)2−5(k2+6k+5)
=−k2−10k=0
k(k+10)=0
k=0, −10･･･（答）

（別解）
　中心が(1,−3)から直線2x−y+k=0までの距離が，円の半径 $\sqrt{5}$ に等しくなるように定数kの値を定める．
$\frac{|2+ 3+ k|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\sqrt{5}$
$|5+ k|=5$
辺々2乗すると
25+10k+k2=25
k(k+10)=0
k=0, −10･･･（答） →解説を隠す←

【問題2-3】★
　円(x−2)2+(y−1)2=13と直線2x−3y+k=0の共有点の個数は，kの値が変わると，どのように変わるかを調べてください．

［解説を読む］

（解答）

$y=\frac{2}{3}x+\frac{k}{3}$ を(x−2)2+(y−1)2=13に代入すると
$(x-2)^2+(\frac{2}{3}x+\frac{k}{3}-1)^2=13$
$x^2-4x+ 4+\frac{4}{9}x^2+\frac{k^2}{9}+ 1+\frac{4}{9}kx-\frac{2}{3}k-\frac{4}{3}x=13$
両辺に9を掛けて分母を払う
$9x^2-36x+ 36+ 4x^2 + k^2+ 9+ 4kx-6k-12x=117$
$13x^2+ 2(2k-24)x+(k^2-3k-72)=0$
判別式をDとおくと
D’=D/4=(2k−24)2−13(k2−6k−72)
=−9k2−18k+1312
=−9(k2+2k−168)
=−9(k+14)(k−12)
ア） −14<k<12のとき，D’>0だから
　　異なる２点で交わる．（共有点は２個）
イ） k=−14, 12のとき，D’=0だから
　　１点で接する．（共有点は１個）
ア） k<−14, 12<kのとき，D’<0だから
　　共有点なし．（共有点は０個）

（別解）
円の中心(2, 1)から直線2x−3y+k=0までの距離dは
$d=\frac{|4-3+ k|}{\sqrt{2^2+(-3)^2}}=\frac{|1+ k|}{\sqrt{13}}$
円の半径は $r=\sqrt{13}$ だから

※この問題のように，原点以外に中心がある円と直線との共有点の個数を調べるときは，判別式で調べるよりも点と直線の距離で調べる方が，計算量は少なくて済む．

ア）d<r
　　すなわち
$\frac{|1+ k|}{\sqrt{13}}\lt\sqrt{13}$
|1+k|<13
1+2k+k2<169
k2+2k−168<0
(k+14)(k−12)<0
−14<k<12
のとき，２点で交わる
イ）d=r
　　すなわち，k=−14, 12
のとき，１点で接する
ウ）d>r
　　すなわち，k<−14, 12<k
のとき，共有点なし
→解説を隠す←

3. 円外の１点を通る接線

　ここまでに学んでいるように
(1)　(x1, y1)が円x2+y2=r2の円周上の点であるとき
x1x+y1y=r2
は，接点(x1, y1)における接線の方程式になる．
(2)　(x1, y1)が円(x−p)2+(y−q)2=r2の周上の点であるとき
(x1−p)(x−p)+(y1−q)(y−q)=r2
は，接点(x1, y1)における接線の方程式になる．

　しかし，(x1, y1)が円の周上の点でなく，円外の１点であるとき
x1x+y1y=r2
(x1−p)(x−p)+(y1−q)(y−q)=r2
は，点(x1, y1)を通る接線の方程式にならない．

　一般に，(x1, y1)が円外の１点であるとき，(x1, y1)を通る接線は２つあり，(x1, y1)以外の接点がある．

　以下においては，円外の１点を通る直線の方程式を求める方法を３通り示す．

判別式が０になるという条件を使う
点と直線の距離の公式を使う
接点の座標を求めてから，直線の方程式を求める

【例３】★★
　点(1, 3)から円x2+y2=5に引いた接線の方程式を求めてください．

• 接線となる条件：判別式D=0が使える．
• 一般に，判別式を使う方法は「考え方はやさしい」が「計算は複雑」になることが多い

（解答A）
　点(1, 3)を通る直線の方程式は
y−3=m(x−1)
y=mx+(3−m)･･･①
とおける．そこで，①が円
x2+y2=5･･･②
に接するようなmの値を求める
　①を②に代入
x2+{mx+(3−m)}2=5
x2+m2x2+2m(3−m)x+(3−m)2−5=0
(m2+1)x2+2m(3−m)x+(m2−6m+4)=0
判別式をDとおくと
D’=D/4=m2(3−m)2−(m2+1)(m2−6m+4)
=m4−6m3+9m2−m4−m2+6m3−16m−4m2−4
=2(2m2+3m−2)=2(2m−1)(m+2)=0
ア） m=−2のとき
y=−2x+5･･･（答）

イ） $m=\frac{1}{2}$ のとき
$y-3=\frac{1}{2}(x-1)$
x−2y+5=0･･･（答）

（別解B）

• 接線となる条件：点と直線の距離の公式
$d=\frac{|ax_1+ by_1+ c|}{\sqrt{a^2+ b^2}}$
が使える．
• 一般に，考え方は難しくなるが，計算は簡単になる．

　点(1, 3)を通る直線の方程式は
y−3=m(x−1)
mx−y+(3−m)=0･･･①
とおける．円
x2+y2=5･･･②
の中心(0, 0)から，①までの距離が円の半径に等しくなるようにmの値を定める
$d=\frac{|3-m|}{\sqrt{m^2+ 1}}=\sqrt{5}$
$|3-m|=\sqrt{5(m^2+ 1)}$
$9-6m+ m^2=5m^2+ 5$
$4m^2+ 6m-4=0$
$2(2m-1)(m+ 2)=0$
ア） m=−2のとき
y=−2x+5･･･（答）

イ） $m=\frac{1}{2}$ のとき
$y-3=\frac{1}{2}(x-1)$
x−2y+5=0･･･（答）

（別解C）
　円x2+y2=5の周上にある接点の座標を(p, q)とおく
　接線の方程式は
px+qy=5
この接線が点(1, 3)を通るから
p+3q=5･･･①
また，接点(p, q)は円x2+y2=5の周上にあるから

• 接線となる条件：接線の公式
$px+ qy=r^2$
が使える．
• 未知数が２個なるが，計算はさらに簡単になる．

p2+q2=5･･･②
p, qの連立方程式①②を解くと
ア） p=2, q=1のとき
2x+y=5･･･（答）
イ） p=−1, q=2のとき
−x+2y=5･･･（答）

【問題3-1】★★
　点(−7, 1)から円x2+y2=25に引いた接線の方程式を求めてください．

（解答A）［解説を読む］

　点(−7, 1)を通る直線の方程式を
y−1=m(x+7)
y=mx+(7m+1)
とおく

y=mx+(7m+1)･･･(1)
x2+y2=25･･･(2)
より
x2+{mx+(7m+1)}2=25
(m2+1)x2+2m(7m+1)x+(7m+1)2−25=0
判別式をDとおくと
D’=D/4=m2(7m+1)2−(m2+1){(7m+1)2−25}
=(7m+1)2{m2−(m2+1)}+25(m2+1)
=−(7m+1)2+25(m2+1)
=−49m2−14m−1+25m2+25
=−24m2−14m+24
=−2(12m2−7m+12)
=−2(4m−3)(3m+4)=0
より
$m=\frac{3}{4},\hspace{2}-\frac{4}{3}$
ア） $m=\frac{3}{4}$ のとき
$y=\frac{3}{4}x+\frac{25}{4}$
イ） $m=-\frac{4}{3}$ のとき
$y=-\frac{4}{3}x-\frac{25}{3}$
$y=\frac{3}{4}x+\frac{25}{4},\hspace{3}y=-\frac{4}{3}x-\frac{25}{3}$ ･･･（答）
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（解答B）［解説を読む］

　点(−7, 1)を通る直線の方程式を
y−1=m(x+7)
mx−y+(7m+1)=0･･･(1)
とおく
　円x2+y2=25の中心(0, 0)から，直線(1)までの距離が円の半径5と等しければよいから
$\frac{|0+ 0+ 7m+ 1|}{\sqrt{m^2+ 1}}=5$
$|7m+ 1|=5\sqrt{m^2+ 1}$
辺々2乗する
$49m^2+ 14m+ 1=25(m^2+ 1)$
$24m^2+ 14m-24=0$
$12m^2+ 7m-12=0$
$(4m-3)(3m+ 4)=0$
$m=\frac{3}{4},\hspace{2}-\frac{4}{3}$
ア） $m=\frac{3}{4}$ のとき
$\frac{3}{4}x-y+\frac{25}{4}=0$
$3x-4y+ 25=0$
イ） $m=-\frac{4}{3}$ のとき
$-\frac{4}{3}x-y-\frac{25}{3}=0$
$4x+ y+ 25=0$
$3x-4y+ 25=0,\hspace{3}4x+ y+ 25=0$ ･･･（答）
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（解答C）［解説を読む］

　接点の座標を(p, q)とおくと，接線の方程式は
px+qy=25･･･(1)
(1)が点(−7, 1)を通るから
−7p+q=25･･･(2)
(p, q)は円周上にあるから
p2+q2=25･･･(3)
p, qの連立方程式(2)(3)を解く
q=7p+25を(3)に代入
p2+(7p+25)2=25
50p2+350p+600=0
p2+7p+12=0
(p+3)(p+4)=0
p=−3, −4
ア） p=−3のとき，(2)によりq=4
接線の方程式は，−3x+4y=25
イ） p=−4のとき，(2)によりq=−3
接線の方程式は，−4x−2y=25
3x−4y+25=0, 4x+3y+25=0･･･（答）
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【問題3-2】★★
　点(2, 7)から円(x−1)2+(y−2)2=13に引いた接線の方程式を求めてください．

（解答A）［解説を読む］

　点(2, 7)を通る直線の方程式を
y−7=m(x−2)
y=mx+(7−2m)
とおく

y=mx+(7−2m)･･･(1)
(x−1)2+(y−2)2=13･･･(2)
より
x2+{mx+(5−2m)}2=13
(m2+1)x2+2(5m−2m2−1)x+(4m2−20m+13)=0
判別式をDとおくと
D’=D/4=(5m−2m2−1)2−(m2+1)(4m2−20m+13)
=25m2+4m4+1−20m3+4m2−10m−4m4−4m2
+20m3+20m−13m2−13
=12m2+10m−12=2(3m−2)(2m+3)=0
より
$m=\frac{2}{3},\hspace{2}-\frac{3}{2}$
ア） $m=\frac{2}{3}$ のとき
$y-7=\frac{2}{3}(x-2)$
2x−3y+17=0
イ） $m=-\frac{3}{2}$ のとき
$y-7=-\frac{3}{2}(x-2)$
3x+2y−20=0
2x−3y+17=0, 3x+2y−20=0･･･（答）
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（解答B）［解説を読む］

　点(2, 7)を通る直線の方程式を
y−7=m(x−2)
mx−y+(7−2m)=0･･･(1)
とおく
　円の中心(1, 2)から直線(1)までの距離が，円の半径と等しくなるには
$\frac{|m-2+ 7-2m|}{\sqrt{m^2+ 1}}=\sqrt{13}$
$|5-m|=\sqrt{13(m^2+ 1)}$
辺々2乗すると
$25-10m+ m^2=13(m^2+ 1)$
$12m^2+ 10m-12=0$
$6m^2+ 5m-6=0$
$(2m+ 3)(3m-2)=0$
$m=\frac{2}{3},\hspace{2}-\frac{3}{2}$
ア） $m=\frac{2}{3}$ のとき
$y-7=\frac{2}{3}(x-2)$
2x−3y+17=0
イ） $m=-\frac{3}{2}$ のとき
$y-7=-\frac{3}{2}(x-2)$
3x+2y−20=0
2x−3y+17=0, 3x+2y−20=0･･･（答）
→解説を隠す←

（解答C）［解説を読む］

【公式】
　円(x−a)2+(y−b)2=r2の円周上の点P(p, q)における接線の方程式は
(p−a)(x−a)+(q−b)(y−b)=r2

　接点の座標を(p, q)とおくと，接線の方程式は
(p−1)(x−1)+(q−2)(y−2)=13･･･(1)
(1)が点(2, 7)を通るから
(p−1)(2−1)+(q−2)(7−2)=13
p+5q=24･･･(2)
　また，(p, q)は円の方程式を満たすから
(p−1)2+(q−2)2=13･･･(3) (2)(3)をp, qの連立方程式として解く
(2)より
p=24−5q･･･(2’)
(2’)を(3)に代入
(24−5q−1)2+(q−2)2=13
529−230q+25q2+q2−4q+4=13
26q2−234q+520=0
q2−9q+20=0
(q−4)(q−5)=0
q=4, 5
ア） q=4のとき(2)よりp=4
(1)に代入すると，(4−1)(x−1)+(4−2)(y−2)=13
3x+2y−20=0
イ） q=5のとき(2)よりp=−1
(1)に代入すると，(−1−1)(x−1)+(5−2)(y−2)=13
2x−3y+17=0
以上より
2x−3y+17=0, 3x+2y−20=0･･･（答）
→解説を隠す←

※ここまで，解答が整数係数になる直線ばかりを扱ってきましたが，根号を含む解になることもあります．

【問題3-3】★★
(1) 点(−1, −2)から円x2+y2+2x−4y+1=0に引いた接線の方程式を求めてください．
(2) 原点(0, 0)から円x2+y2−4x+3=0に引いた接線の方程式を求めてください．

［解説を読む］

解答のみ示す
(1) $y=\pm\sqrt{3}(x+ 1)-2$
(2) $y=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}x$
→解説を隠す←

【接線の長さ】
　円外の1点Pと円上の接点Qの間の距離を「接線の長さ」という．
　接線の長さは，右図のような直角三角形から三平方の定理を使って求められる．

※接線を無限に長い直線と考えると「長さ」という言葉と合わないように見えるが，ここでは接点と円外の1点を結ぶ線分に対して「接線の長さ」という用語を用いる．

【例4】★★
　原点Oから円x2+y2−2x−6y+8=0に引いた接線の長さを求めてください．

（解答）
　円の方程式は
(x−1)2+(y−3)2=2
と書けるから，中心がC(1, 3)で，半径が $\sqrt{2}$ の円
　接点をQとすると
$OC=\sqrt{1^2+ 3^2}=\sqrt{10}$
だから，三平方の定理により
$OQ^2+ CQ^2=OC^2$
$OQ^2+ 2=10$
$OQ=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ ･･･（答）

【問題4-1】★★
　点P(0, 2)から円x2+y2−4x+6y+3=0に引いた接線の長さを求めてください．

［解説を読む］

　円の方程式は
(x−2)2+(y+3)2=10
と書けるから，中心がC(2, −3)で，半径が $\sqrt{10}$ の円
　接点をQとすると
$PC=\sqrt{2^2+ 5^2}=\sqrt{29}$
だから，三平方の定理により
$PQ^2+ CQ^2=PC^2$
$PQ^2+ 10=29$
$PQ=\sqrt{19}$ ･･･（答）
→解説を隠す←

【問題4-2】★★
　点P(0, 3)から円x2+y2−2x+4y−5=0に引いた接線の長さを求めてください．

［解説を読む］

　円の方程式は
(x−1)2+(y+2)2=10
と書けるから，中心がC(1, −2)で，半径が $\sqrt{10}$ の円
　接点をQとすると
$PC=\sqrt{1^2+ 5^2}=\sqrt{26}$
だから，三平方の定理により
$PQ^2+ CQ^2=PC^2$
$PQ^2+ 10=26$
$PQ=\sqrt{16}=4$ ･･･（答）
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【共通接線の方程式】
• 図１のような場合は，２つの円の共通接線は外側に２本ある．
• 図２のような場合は，２つの円の共通接線は４本ある．

　解き方として，ここまでと同様に

(A)判別式
(B)点と直線の距離
(C)まず接点の座標を求める

などが考えられるが，(A)は計算が複雑になり過ぎるので避けたほうが良い

　円の半径をr, R (r<R)，中心C, D間の距離をd，共通接線の長さをLとすると

【共通外接線の長さ】
　右図から三平方の定理を用いて求められる
$L^2+(R-r)^2=d^2$

【共通内接線の長さ】
　右図から三平方の定理を用いて求められる
$L^2+(R+ r)^2=d^2$

【例5】★★
　円x2+y2=1と(x−2)2+y2=4の共通外接線の方程式を求めてください．また，そのうちの１つの共通外接線について，２接点間の距離を求めてください．

（解答）
　円x2+y2=1上の接点を(p, q)とおくと，接線の方程式は
px+qy=1･･･(1)
ここで，(p, q)は，円x2+y2=1上の点だから
p2+q2=1･･･(2)
を満たす．また，(1)は(x−2)2+y2=4に接するから，中心(2, 0)からの距離が半径2に等しい
$\frac{|2p+ 0-1|}{\sqrt{p^2+ q^2}}=2$

(2)も使うと
$|2p-1|=2$
$4p^2-4p+ 1=4$
$4p^2-4p-3=0$
$(2p+ 1)(2p-3)=0$
$p=-\frac{1}{2},\hspace{2}\frac{3}{2}$
ここで(2)より−1≦p≦1だから
$p=-\frac{1}{2}$
このとき
$q=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}$
ア）
$-\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=1$
$-x+\sqrt{3}y=2$
イ）
$-\frac{1}{2}x-\frac{\sqrt{3}}{2}y=1$
$-x-\sqrt{3}y=2$
以上から
$y=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}(x+ 2)$ ･･･（答）

　円の中心をC, D半径をr, Rとし，２中心間の距離をd，２接点間の距離をLとすると，右図のような台形から，三平方の定理により
L2+(R−r)2=d2
が成り立つ．
L2+12=22
$L=\sqrt{3}$ ･･･（答）

【問題5-1】★★
　円x2+y2=1とx2+(y−3)2=9の共通接線の方程式を求めてください．また，そのうちの１つの共通接線について，２接点間の距離を求めてください．

［解説を読む］

　円x2+y2=1上の接点を(p, q)とおくと，接線の方程式は
px+qy=1･･･(1)
ここで，(p, q)は，円x2+y2=1上の点だから
p2+q2=1･･･(2)
を満たす．また，(1)はx2+(y−3)2=9に接するから，中心(0, 3)からの距離が半径3に等しい
$\frac{|0+ 3q-1|}{\sqrt{p^2+ q^2}}=3$
(2)も使うと
$|3q-1|=3$
$3q-1=\pm 3$
$q=\frac{4}{3},\hspace{2}-\frac{2}{3}$
ここで(2)より−1≦q≦1だから
$q=-\frac{2}{3}$
(2)により
$p=\pm\frac{\sqrt{5}}{3}$
接線の方程式は
$\pm\frac{\sqrt{5}}{3}x-\frac{2}{3}y=1$
$\pm\sqrt{5}x-2y=3$
$y=\frac{1}{2}(\pm\sqrt{5}x-3)=\pm\frac{\sqrt{5}}{2}x-\frac{3}{2}$ ･･･（答）

右図（縦横は逆）において，r=1, R=3とし，２中心間の距離をd=3，２接点間の距離をLとすると，
L2+22=32
$L=\sqrt{5}$ ･･･（答）
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【問題5-2】★★
　円(x+2)2+y2=1と(x−2)2+y2=4の共通接線の方程式を求めてください．また，共通外接線，共通内接線の長さを求めてください．

［解説を読む］

　円(x+2)2+y2=1上の接点を(p, q)とおくと，接線の方程式は
(p+2)(x+2)+qy=1
(p+2)x+qy+(2p+3)=0･･･(1)
ここで，(p, q)は，円(x+2)2+y2=1上の点だから
(p+2)2+q2=1･･･(2)
を満たす．また，(1)は(x−2)2+y2=4に接するから，中心(2, 0)からの距離が半径2に等しい
$\frac{|2(p+ 2)+ (2p+ 3)|}{\sqrt{(p+ 2)^2+ q^2}}=2$
(2)も使うと
$|4p+ 7|=2$
$4p+ 7=\pm 2$
$p=-\frac{5}{4},\hspace{2}-\frac{9}{4}$

ア）
$p=-\frac{5}{4}$
のとき，(2)により
$q=\pm\frac{\sqrt{7}}{4}$
接線の方程式は
$\frac{3}{4}x\pm\frac{\sqrt{7}}{4}y+\frac{3}{4}=0$
$3x\pm\sqrt{7}y+ 2=0$ ･･･（答）
イ）
$p=-\frac{9}{4}$
のとき，(2)により
$q=\pm\frac{\sqrt{15}}{4}$
接線の方程式は
$-\frac{1}{4}x\pm\frac{\sqrt{15}}{4}y-\frac{6}{4}=0$ ･･･（答）
$x\pm\sqrt{15}y+ 6=0$
（※図を見れば|p|の大きい方が共通外接線に対応することが分かる．）

　円の半径はr=1, R=2，中心C, D間の距離はd=4，共通外接線の長さをL1とすると
$L_1^2+(R-r)^2=d^2$
より
$L_1=\sqrt{15}$ ･･･（答）
　共通内接線の長さをL2とすると
$L_2^2+(R+ r)^2=d^2$
より
$L_2=\sqrt{7}$ ･･･（答）
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【弦の長さ】
(1) 右図3のように半径rの円と直線が2点で交わるとき，円の中心と直線の距離をdとすると
l2+d2=r2
によって定まるlの長さを２倍したもの，2lが弦の長さになる．
(2) 右図4のような２つの円の共通弦の長さを求めるには，２つの円の交点を通る直線の方程式を求めて，その直線と円の中心との距離を使って，(1)と同様に求めるとよい．（２つの円のどちらを使ってもよい）

【例6】★★
　直線x+y=1が円x2+y2=4によって切り取られる弦の長さを求めてください．

　円が直線によって切り取られるものは「弧」，直線が円によって切り取られるものは「弦」
　ここで出題しているのは「弦」だから，「直線が円によって切り取られる」ものを尋ねている

（解答）
　円の中心(0, 0)と直線x+y−1=0の距離は
$\frac{|0+ 0-1|}{\sqrt{1^1+ 1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
　円の半径は2だから，三平方の定理により
$l^2+\frac{1}{2}=2^2$
$l^2=4-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$
$l=\sqrt{\frac{7}{2}}=\frac{\sqrt{14}}{2}$
$2l=\sqrt{14}$ ･･･（答）

【問題6-1】★★
　直線x+2y=9が円(x−2)2+(y−1)2=10によって切り取られる弦の長さを求めてください．

［解説を読む］

（解答）
円の中心(2, 1)から直線x+2y−9=0までの距離dと円の半径rから，三平方の定理を使って弦の長さ2lを求めることにする
$d=\frac{|2+ 2-9|}{\sqrt{1^2+ 2^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$
$l^2+ d^2=r^2$
に代入すると
$l^2+ 5=10$
$l^2=5$
$l=\sqrt{5}\hspace{2}(\gt 0)$
$2l=2\sqrt{5}$ ･･･（答）

（別解）

２つの交点の座標を求めて，２点間の距離を計算する

連立方程式を解く

(x−2)2+(y−1)2=10･･･(1)
x=9−2y･･･(2)
(2)を(1)に代入
(7−2y)2+(y−1)2=10
5y2−30y+40=0
y2−6y+8=0
(y−2)(y−4)=0
y=2, 4
ア）y=2のとき，x=9−4=5 ⇒ P(5, 2)
イ）y=4のとき，x=9−8=1 ⇒ Q(1, 4)
$PQ=\sqrt{(1-5)^2+(4-2)^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$ ･･･（答）
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【例7】★★
　円x2+y2=20と円x2+y2−9x+3y+10=0の共通弦の長さを求めてください．

（解答）

【２円の交点を通る円の方程式】
　２円x2+y2+ax+by+c=0，x2+y2+dx+ey+f=0が交わるとき
x2+y2+ax+by+c+k(x2+y2+dx+ey+f)=0
は２円の交点を通る円を表す．
　特に，k=−1のときは，２円の交点を通る直線を表す．

上記の公式において，k=−1のとき，共通弦となる直線の方程式を表す．
x2+y2−20−(x2+y2−9x+3y+10)=0
9x−3y−30=0
3x−y−10=0･･･(1)
　円x2+y2=20の中心はO(0, 0)で半径は $r=\sqrt{20}$
(1)と円の中心との距離は
$d=\frac{|0+ 0-10|}{\sqrt{3^2+ 1^2}}=\sqrt{10]$
$l^2+ d^2=r^2$
より
$l^2+ 10=20$
$l=\sqrt{10}$
求める共通弦の長さは
$2l=2\sqrt{10}$ ･･･（答）

(別解）･･･２交点間の距離を計算する
y=3x−10を円の方程式に代入して，交点の座標を求める
x2+(3x−10)2=20
10x2−60x+80=0
x2−6x+8=0
(x−2)(x−4)=0
x=2, 4
交点の座標は，P(2, −4), Q(4, 2)
共通弦の長さは， $PQ=\sqrt{(4-2)^2+(2+ 4)^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$ ･･･（答）

【問題7-1】★★
　円(x−1)2+(y+1)2=25と円(x−3)2+(y−1)2=5の共通弦の長さを求めてください．

［解説を読む］

（解答）
(x−1)2+(y+1)2−25+k{(x−3)2+(y−1)2−5}=0
において，k=−1のときは，共通弦となる直線の方程式を表す．
(x−1)2+(y+1)2−25−{(x−3)2+(y−1)2−5}=0
4x+4y−28=0
x+y−7=0･･･(1)
(1)と円(x−1)2+(y+1)2=25の中心(1, −1)の距離は
$d=\frac{|1-1-7|}{\sqrt{1^2+ 1^2}}=\frac{7}{\sqrt{2}}$
$l^2=r^2-d^2=25-\frac{49}{2}=\frac{1}{2}$
$l=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
求める共通弦の長さは
$2l=\sqrt{2}$ ･･･（答）

（別解）２交点間の距離で計算してもよい．また，円(x−3)2+(y−1)2=5を使って求めてもよい． →解説を隠す←

【方べきの定理】
(1) 《右図5》
　２つの弦ABとCDが円内の１点Pで交わるとき，PA·PB=PC·PDが成り立つ
(2) 《右図6》
　２つの弦ABとCDが円外の１点Pで交わるとき，PA·PB=PC·PDが成り立つ
　また，接線をPTとするとPA·PB=PT2が成り立つ

• これらの性質は，初等幾何で「方べきの定理」と呼ばれるもので，相似図形の性質を使って証明できる．
• 以下においては，方べきの定理の「結果を使う」のではなく，これらの性質が「座標を用いた計算によっても証明できること」を示す．

【例8】★★
　円(x−3)2+y2=4と原点Oを通る直線y=mxとの交点をP, Qとするとき，OP·OQの積は一定であることを示してください．

（解答）
次の連立方程式を考える

y=mx･･･(1)
(x−3)2+y2=4･･･(2)
(1)を(2)に代入
(x−3)2+m2x2=4
(m2+1)x2−6x+5=0･･･(3)
(3)の判別式をDとおくと
D’=D/4=9−5(m2+1)
=4−5m2
異なる２点で交わる条件は，D’>0より
$-\frac{2}{\sqrt{5}}\lt m\lt\frac{2}{\sqrt{5}}$ ･･･(4)
(4)の条件の下で２交点のx座標をα, β (>0)とおくと，(3)の解と係数の関係から
$\alpha+\beta=\frac{6}{m^2+ 1}$
$\alpha\beta=\frac{5}{m^2+ 1}$
P, Qからx軸に降ろした垂線の足をP', Q'とすると
$\rm{OP^{\tiny \prime}:PP^{\tiny\prime}:OP}=1:m:\sqrt{m^2+ 1}$
$\rm{OP}=\sqrt{m^2+ 1}\cdot\rm{OP^{\tiny \prime}}=\sqrt{m^2+ 1}\cdot\alpha$
$\rm{OQ^{\tiny \prime}:QQ^{\tiny\prime}:OQ}=1:m:\sqrt{m^2+ 1}$
$\rm{OQ}=\sqrt{m^2+ 1}\cdot\rm{OQ^{\tiny \prime}}=\sqrt{m^2+ 1}\cdot\beta$
(4)の条件下で，これらを用いると
$\rm{OP}\cdot\rm{OQ}=(m^2+ 1)\alpha\beta=5$
となって，積は一定になる･･･■証明終■

【問題8-1】★★
　円x2+y2=1と点P(−2, 0)を通る直線y=m(x+2)との交点をA, Bとするとき，PA·PBの積は一定であることを示してください．

［解説を読む］

（解答）
次の連立方程式を考える

y=m(x+2)･･･(1)
x2+y2=1･･･(2)
(1)を(2)に代入
x2+m2(x2+4x+4)=1
(m2+1)x2+4m2x+(4m2−1)=0･･･(3)
(3)の判別式をDとおくと
D’=D/4=(2m2)2−(m2+1)(4m2−1)
=−3m2+1
異なる２点で交わる条件は，D’>0より
$-\frac{1}{\sqrt{3}}\lt m\lt\frac{1}{\sqrt{3}}$ ･･･(4)
(4)の条件の下で２交点A, Bのx座標をα, βとおくと，(3)の解と係数の関係から
$\alpha+\beta=-\frac{4m^2}{m^2+ 1}$
$\alpha\beta=\frac{4m^2-1}{m^2+ 1}$
A, Bからx軸に降ろした垂線の足をA', B'とすると
$\rm{PA^{\tiny \prime}:AA^{\tiny\prime}:PA}=1:m:\sqrt{m^2+ 1}$
$\rm{PA}=\sqrt{m^2+ 1}\cdot\rm{PA^{\tiny \prime}}=\sqrt{m^2+ 1}\cdot(\alpha+ 2)$
$\rm{PB^{\tiny \prime}:BB^{\tiny\prime}:PB}=1:m:\sqrt{m^2+ 1}$
$\rm{PB}=\sqrt{m^2+ 1}\cdot\rm{PB^{\tiny \prime}}=\sqrt{m^2+ 1}\cdot(\beta+ 2)$
(4)の条件下で，これらを用いると
$\rm{PA}\cdot\rm{PB}=(m^2+ 1)(\alpha+ 2)(\beta+ 2)$
$=(m^2+ 1)\{\alpha\beta+ 2(\alpha+\beta)+ 4\}$
$=(m^2+ 1)(\frac{4m^2-1}{m^2+ 1}-\frac{8m^2}{m^2+ 1}+ 4)$
$=(m^2+ 1)\frac{3}{m^2+ 1}=3$
となって，積は一定になる･･･■証明終■ →解説を隠す←

【問題8-2】★★
　a, b, rを正の数，mを実数とする．
　円(x−a)2+(y−b)2=r2と原点O(0, 0)を通る直線y=mxとが２点A, Bで交わるとき，OA·OBの積をa, b, rを用いて表してください．

［解説を読む］

（解答）
次の連立方程式を考える

y=mx･･･(1)
(x−a)2+(y−b)2=r2･･･(2)
(1)を(2)に代入
(x−a)2+(mx−b)2=r2
(m2+1)x2−2(a+mb)x+(a2+b2−r2)=0･･･(3)
2点で交わるとき，２交点A, Bのx座標をα, βとおくと，(3)の解と係数の関係から
$\alpha\beta=\frac{a^2+ b^2-r^2}{m^2+ 1}$
A, Bからx軸に降ろした垂線の足をA', B'とすると
$\rm{OA^{\tiny \prime}:AA^{\tiny\prime}:OA}=1:m:\sqrt{m^2+ 1}$
$\rm{OA}=\sqrt{m^2+ 1}\cdot\rm{OA^{\tiny \prime}}=\sqrt{m^2+ 1}\cdot\alpha$
$\rm{OB^{\tiny \prime}:BB^{\tiny\prime}:OB}=1:m:\sqrt{m^2+ 1}$
$\rm{OB}=\sqrt{m^2+ 1}\cdot\rm{OB^{\tiny \prime}}=\sqrt{m^2+ 1}\cdot\beta$
$\rm{OA}\cdot\rm{OB}=(m^2+ 1)\alpha\beta=a^2+ b^2-r^2$ ･･･（答）
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